integral from 0 to 1 of sin(pix)cos(pix)

Lösung

\int_{0}^{1} sin (π x) cos (π x) d x

0

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{1} sin (π x) cos (π x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int_{0}^{1} \frac{sin ( 2 π x )}{2} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{1} sin (2 π x) d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{2 π} sin (u) \frac{1}{2 π} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 π} \cdot \int_{0}^{2 π} sin (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 π} [- cos (u)]_{0}^{2 π}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 π} [- cos (u)]_{0}^{2 π} : \frac{1}{4 π} [- cos (u)]_{0}^{2 π}

= \frac{1}{4 π} [- cos (u)]_{0}^{2 π}

Berechne die Grenzen:

0

= \frac{1}{4 π} \cdot 0

Vereinfache

= 0

\int_{2}^{5} 7 - 3 x d x

\int_{1}^{2} 3 x^{2} + x d x

\int_{4}^{4} 1

\int_{- 1}^{0} \frac{2 x}{( 2 + x ^{2} ) ^{3}} d x

\int_{0}^{\frac{2}{11}} \frac{1}{121 x ^{2} + 4} d x