integral of x/(81x^4-1)

Lösung

\int \frac{x}{81 x ^{4} - 1} d x

- \frac{1}{36} (ln 9 x^{2} + 1 - ln 9 x^{2} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x}{81 x ^{4} - 1} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{1}{2 ( 81 u ^{2} - 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{81 u ^{2} - 1} d u

Faktorisiere

81 u^{2} - 1 : - (- 81 u^{2} + 1)

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{- ( - 81 u ^{2} + 1 )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{- 81 u ^{2} + 1} d u)

Wende integrale Substitution an

= \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{9 ( - v ^{2} + 1 )} d v)

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{9} \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{9} (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{9} (\frac{ln 9 x ^{2} + 1}{2} - \frac{ln 9 x ^{2} - 1}{2}))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- \frac{1}{9} (\frac{ln 9 x ^{2} + 1}{2} - \frac{ln 9 x ^{2} - 1}{2})) : - \frac{1}{36} (ln 9 x^{2} + 1 - ln 9 x^{2} - 1)

= - \frac{1}{36} (ln 9 x^{2} + 1 - ln 9 x^{2} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{36} (ln 9 x^{2} + 1 - ln 9 x^{2} - 1) + C

\frac{d}{d x} (e^{x - 5} - x)

\int_{1}^{4} t^{2} ln (4 t) d t

y^{^{'}} + 6 y = t + e^{- 4 t}

\int \frac{x ^{4} + 1}{x ( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x

d er i v a t i v e e^{4 x}