integral of xsin^2(8x)

解

\int x sin^{2} (8 x) d x

\frac{1}{512} (128 x^{2} - 16 x sin (16 x) - cos (16 x)) + C

解答ステップ

\int x sin^{2} (8 x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{1}{2} x (1 - cos (16 x)) d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int x (1 - cos (16 x)) d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{2} (x (x - \frac{1}{16} sin (16 x)) - \int x - \frac{1}{16} sin (16 x) d x)

\int x - \frac{1}{16} sin (16 x) d x = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{256} cos (16 x)

= \frac{1}{2} (x (x - \frac{1}{16} sin (16 x)) - (\frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{256} cos (16 x)))

簡素化

\frac{1}{2} (x (x - \frac{1}{16} sin (16 x)) - (\frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{256} cos (16 x))) : \frac{1}{512} (128 x^{2} - 16 x sin (16 x) - cos (16 x))

= \frac{1}{512} (128 x^{2} - 16 x sin (16 x) - cos (16 x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{512} (128 x^{2} - 16 x sin (16 x) - cos (16 x)) + C