integral of t^2cos^2(t)

解

\int t^{2} cos^{2} (t) d t

\frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - \frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) + \frac{1}{4} t^{2} sin (2 t) + \frac{1}{4} t cos (2 t) - \frac{1}{8} sin (2 t) + C

解答ステップ

\int t^{2} cos^{2} (t) d t

部分積分を適用する

= \frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - \int - \frac{1}{3} t^{3} sin (2 t) d t

\int - \frac{1}{3} t^{3} sin (2 t) d t = \frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) - \frac{1}{8} (2 t^{2} sin (2 t) + 2 t cos (2 t) - sin (2 t))

= \frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - (\frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) - \frac{1}{8} (2 t^{2} sin (2 t) + 2 t cos (2 t) - sin (2 t)))

簡素化

\frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - (\frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) - \frac{1}{8} (2 t^{2} sin (2 t) + 2 t cos (2 t) - sin (2 t))) : \frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - \frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) + \frac{1}{4} t^{2} sin (2 t) + \frac{1}{4} t cos (2 t) - \frac{1}{8} sin (2 t)

= \frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - \frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) + \frac{1}{4} t^{2} sin (2 t) + \frac{1}{4} t cos (2 t) - \frac{1}{8} sin (2 t)

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} t^{3} cos^{2} (t) - \frac{1}{6} t^{3} cos (2 t) + \frac{1}{4} t^{2} sin (2 t) + \frac{1}{4} t cos (2 t) - \frac{1}{8} sin (2 t) + C