integral of 1/(cos^4(3x))

Lösung

\int \frac{1}{cos ^{4} ( 3 x )} d x

\frac{1}{3} (tan (3 x) + \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{cos ^{4} ( 3 x )} d x

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{1}{cos ( x )} = sec (x)

= \int sec^{4} (3 x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sec^{4} (u) \frac{1}{3} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{3} \cdot \int sec^{4} (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{3} \cdot \int (1 + tan^{2} (u)) sec^{2} (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{3} \cdot \int 1 + v^{2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{3} (\int 1 d v + \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= \frac{1}{3} (v + \frac{v ^{3}}{3})

Ersetze zurück

= \frac{1}{3} (tan (3 x) + \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (tan (3 x) + \frac{tan ^{3} ( 3 x )}{3}) + C