integral of 4sin^3(x)cos^3(x)

Lösung

\int 4 sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

- cos^{4} (x) + \frac{2}{3} cos^{6} (x) + C

Schritte zur Lösung

\int 4 sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 4 \cdot \int (1 - cos^{2} (x)) sin (x) cos^{3} (x) d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int - u^{3} (1 - u^{2}) d u

Multipliziere aus

- u^{3} (1 - u^{2}) : - u^{3} + u^{5}

= 4 \cdot \int - u^{3} + u^{5} d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 4 (- \int u^{3} d u + \int u^{5} d u)

\int u^{3} d u = \frac{u ^{4}}{4}

\int u^{5} d u = \frac{u ^{6}}{6}

= 4 (- \frac{u ^{4}}{4} + \frac{u ^{6}}{6})

Setze in

u = cos (x)

ein

= 4 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6})

Vereinfache

4 (- \frac{cos ^{4} ( x )}{4} + \frac{cos ^{6} ( x )}{6}) : - cos^{4} (x) + \frac{2}{3} cos^{6} (x)

= - cos^{4} (x) + \frac{2}{3} cos^{6} (x)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - cos^{4} (x) + \frac{2}{3} cos^{6} (x) + C

\int \frac{4 x}{( x - 1 ) ( x ^{2} - 1 )} d x

\int - \frac{4}{csc ( x )} d x

\int (x - \frac{a}{x})^{2} d x

\int 36 - 36 cos^{2} (x) d x

\int (x^{2}) cos (3 x) d x