integral of sqrt(2x^2-3)

Lösung

\int 2 x^{2} - 3 d x

\frac{3}{2} (\frac{1}{6} x \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3) - \frac{1}{2} ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3)) + C

Schritte zur Lösung

\int 2 x^{2} - 3 d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{3}{2} tan^{2} (u) sec (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{3}{2} \cdot \int tan^{2} (u) sec (u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{3}{2} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) d u

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (u)) sec (u) : - sec (u) + sec^{3} (u)

= \frac{3}{2} \cdot \int - sec (u) + sec^{3} (u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{3}{2} (- \int sec (u) d u + \int sec^{3} (u) d u)

\int sec (u) d u = ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

\int sec^{3} (u) d u = \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣

= \frac{3}{2} (- ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣ + \frac{1}{2} sec (u) tan (u) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (u) + sec (u) ∣)

Setze in

u = arcsec (\frac{2}{3} x)

ein

= \frac{3}{2} (- ln tan (arcsec (\frac{2}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{2}{3} x)) tan (arcsec (\frac{2}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{3} x)))

Vereinfache

\frac{3}{2} (- ln tan (arcsec (\frac{2}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{3} x)) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{2}{3} x)) tan (arcsec (\frac{2}{3} x)) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{2}{3} x)) + sec (arcsec (\frac{2}{3} x))) : \frac{3}{2} (\frac{1}{6} x \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3) - \frac{1}{2} ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3))

= \frac{3}{2} (\frac{1}{6} x \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3) - \frac{1}{2} ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{3}{2} (\frac{1}{6} x \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3) - \frac{1}{2} ln \frac{2}{3} x + \frac{1}{3} (2 x^{2} - 3)) + C

\int (x + 7) e^{x} d x

\int \frac{x + e ^{2 x}}{x ^{2} + e ^{2 x}} d x

\int \frac{5 - 3 x}{x ^{2} + 4 x + 5} d x

\int \frac{5}{3 - 2 x} d x

\int \frac{2 x ^{2} - 4}{x ^{3}} d x