integral of ((x-1))/(3x^2-4x+3)

Lösung

\int \frac{( x - 1 )}{3 x ^{2} - 4 x + 3} d x

\frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x - 1}{3 x ^{2} - 4 x + 3} d x

Vervollständige das Quadrat

3 x^{2} - 4 x + 3 : 3 (x - \frac{2}{3})^{2} + \frac{5}{3}

= \int \frac{x - 1}{3 ( x - \frac{2}{3} ) ^{2} + \frac{5}{3}} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{3 u - 1}{9 u ^{2} + 5} d u

Multipliziere aus

\frac{3 u - 1}{9 u ^{2} + 5} : \frac{3 u}{9 u ^{2} + 5} - \frac{1}{9 u ^{2} + 5}

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{3 u}{9 u ^{2} + 5} d u - \int \frac{1}{9 u ^{2} + 5} d u

\int \frac{3 u}{9 u ^{2} + 5} d u = \frac{1}{6} ln 9 u^{2} + 5

\int \frac{1}{9 u ^{2} + 5} d u = \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} u)

= \frac{1}{6} ln 9 u^{2} + 5 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} u)

Setze in

u = x - \frac{2}{3}

ein

= \frac{1}{6} ln 9 (x - \frac{2}{3})^{2} + 5 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (x - \frac{2}{3}))

Vereinfache

\frac{1}{6} ln 9 (x - \frac{2}{3})^{2} + 5 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3}{5} (x - \frac{2}{3})) : \frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5})

= \frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{6} ln 9 x^{2} - 12 x + 9 - \frac{1}{3 5} arctan (\frac{3 x - 2}{5}) + C

\int \frac{2}{11 + 10 w - w ^{2}} d w

\int \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) - sin ( x )} d x

\int 3 x^{2} \cdot cos (x) d x

\int \frac{1}{3} sin^{3} (x) cos^{3} (x) d x

\int 2 ln (3 x + 1) d x