integral of 2/3 xe^{-3/5 x}

解

\int \frac{2}{3} x e^{- \frac{3}{5} x} d x

\frac{2}{3} (- \frac{5}{3} e^{- \frac{3 x}{5}} x - \frac{25}{9} e^{- \frac{3 x}{5}}) + C

解答ステップ

\int \frac{2}{3} x e^{- \frac{3}{5} x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{3} \cdot \int x e^{- \frac{3}{5} x} d x

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2}{3} \cdot \int x e^{- \frac{3 x}{5}} d x

部分積分を適用する

= \frac{2}{3} (- \frac{5}{3} e^{- \frac{3 x}{5}} x - \int - \frac{5}{3} e^{- \frac{3 x}{5}} d x)

\int - \frac{5}{3} e^{- \frac{3 x}{5}} d x = \frac{25}{9} e^{- \frac{3 x}{5}}

= \frac{2}{3} (- \frac{5}{3} e^{- \frac{3 x}{5}} x - \frac{25}{9} e^{- \frac{3 x}{5}})

定数を解答に追加する

= \frac{2}{3} (- \frac{5}{3} e^{- \frac{3 x}{5}} x - \frac{25}{9} e^{- \frac{3 x}{5}}) + C