integral of sin^4(pix)

Lösung

\int sin^{4} (π x) d x

\frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x))) + C

Schritte zur Lösung

\int sin^{4} (π x) d x

Wende U-Substitution an

= \int sin^{4} (u) \frac{1}{π} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{π} \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= \frac{1}{π} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= \frac{1}{π} (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = π x

ein

= \frac{1}{π} (- \frac{cos ( π x ) sin ^{3} ( π x )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x)))

Vereinfache

\frac{1}{π} (- \frac{cos ( π x ) sin ^{3} ( π x )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x))) : \frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x)))

= \frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{π} (- \frac{1}{4} sin^{3} (π x) cos (π x) + \frac{3}{8} (π x - \frac{1}{2} sin (2 π x))) + C

\int arctan (3 t) d t

\int \frac{1 - x}{( 1 + x ) 3 x} d x

\int \frac{e ^{4 v}}{( 1 + 3 e ^{4 v} ) ^{2}} d v

\int 2 x cos (\frac{x}{2}) d x

\int (\frac{sin ( x )}{1 + tan ( x )})^{2} d x