integral of (cos^2(1/x))/(x^2)

Lösung

\int \frac{cos ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x

- \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x})) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{cos ^{2} ( \frac{1}{x} )}{x ^{2}} d x

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( \frac{2}{x} )}{2 x ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( \frac{2}{x} )}{x ^{2}} d x

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{1 + cos ( u )}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (u) d u)

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (\int 1 d u + \int cos (u) d u))

\int 1 d u = u

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (u + sin (u)))

Setze in

u = \frac{2}{x}

ein

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x})))

Vereinfache

\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x}))) : - \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x}))

= - \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x}))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{4} (\frac{2}{x} + sin (\frac{2}{x})) + C

\int (x - \frac{2}{x}) (x + \frac{2}{x}) d x

\int \frac{2}{3 x + 8} d x

\int \frac{x}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x

\int \frac{8 x ^{2} + x + 9}{( x + 1 ) ( x ^{2} + 1 )} d x

\int \frac{9}{3 e ^{- 2 v} - 7} d v