integral of ((5y+1))/((2y^2-y-1))

Lösung

\int \frac{( 5 y + 1 )}{( 2 y ^{2} - y - 1 )} d y

- \frac{1}{3} (5 y + 1) (ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} - ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5}) + \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} (5 y + 1) - \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5} (5 y + 1) + \frac{1}{2} ln ∣ 10 y + 5 ∣ + 2 ln ∣ 5 y - 5 ∣ + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{5 y + 1}{2 y ^{2} - y - 1} d y

Wende U-Substitution an

= \int \frac{5 u}{2 u ^{2} - 9 u - 18} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 5 \cdot \int \frac{u}{2 u ^{2} - 9 u - 18} d u

Wende die partielle Integration an

= 5 (- \frac{1}{15} u (ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} u - ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} u) - \int - \frac{1}{15} (ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} u - ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} u) d u)

\int - \frac{1}{15} (ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} u - ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} u) d u = - \frac{1}{15} u ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} u + \frac{1}{15} u ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} u - \frac{1}{10} ln ∣ 2 u + 3 ∣ - \frac{2}{5} ln ∣ u - 6 ∣

= 5 (- \frac{1}{15} u (ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} u - ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} u) - (- \frac{1}{15} u ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} u + \frac{1}{15} u ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} u - \frac{1}{10} ln ∣ 2 u + 3 ∣ - \frac{2}{5} ln ∣ u - 6 ∣))

Setze in

u = 5 y + 1

ein

= 5 (- \frac{1}{15} (5 y + 1) (ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1) - ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1)) - (- \frac{1}{15} (5 y + 1) ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{1}{15} (5 y + 1) ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{1}{10} ln ∣ 2 (5 y + 1) + 3 ∣ - \frac{2}{5} ln ∣ 5 y + 1 - 6 ∣))

Vereinfache

5 (- \frac{1}{15} (5 y + 1) (ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1) - ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1)) - (- \frac{1}{15} (5 y + 1) ln \frac{2}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{1}{15} (5 y + 1) ln - \frac{8}{5} + \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{1}{10} ln ∣ 2 (5 y + 1) + 3 ∣ - \frac{2}{5} ln ∣ 5 y + 1 - 6 ∣)) : - \frac{1}{3} (5 y + 1) (ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} - ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5}) + \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} (5 y + 1) - \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5} (5 y + 1) + \frac{1}{2} ln ∣ 10 y + 5 ∣ + 2 ln ∣ 5 y - 5 ∣

= - \frac{1}{3} (5 y + 1) (ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} - ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5}) + \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} (5 y + 1) - \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5} (5 y + 1) + \frac{1}{2} ln ∣ 10 y + 5 ∣ + 2 ln ∣ 5 y - 5 ∣

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - \frac{1}{3} (5 y + 1) (ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} - ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5}) + \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) + \frac{2}{5} (5 y + 1) - \frac{1}{3} ln \frac{4}{15} (5 y + 1) - \frac{8}{5} (5 y + 1) + \frac{1}{2} ln ∣ 10 y + 5 ∣ + 2 ln ∣ 5 y - 5 ∣ + C

\int (\frac{2 x ^{2}}{( 3 - x ^{3} ) ^{2}}) d x

\int tanh (x) ln (cosh (x)) d x

\int \frac{( ln ( x ^{2} ) ) ^{2}}{x} d x

\int cos^{3} (5 x) sin^{2} (5 x) d x

\int \frac{7}{9 + x ^{2}} d x