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人気のある微分積分 >

integral of 1/(au^2+bu+c)

解

\int \frac{1}{a u ^{2} + b u + c} d u

解

\frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}}) + C

解答ステップ

\int \frac{1}{a u ^{2} + b u + c} d u

平方完成する

a u^{2} + b u + c : (a u + \frac{b}{2 a})^{2} + c - \frac{b ^{2}}{4 a}

= \int \frac{1}{( a u + \frac{b}{2 a} ) ^{2} + c - \frac{b ^{2}}{4 a}} d u

u置換積分法を適用する

= \int \frac{4 a}{4 a v ^{2} + 4 a c - b ^{2}} d v

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 a \cdot \int \frac{1}{4 a v ^{2} + 4 a c - b ^{2}} d v

置換積分法を適用する

= 4 a \cdot \int \frac{1}{2 a ( w ^{2} + 1 ) - b ^{2} + 4 a c} d w

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w

共通積分を使用する:

\int \frac{1}{w ^{2} + 1} d w = arctan (w)

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (w)

代用を戻す

= 4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a}{4 a c - b ^{2}} (a u + \frac{b}{2 a}))

簡素化

4 a \frac{1}{2 a - b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a}{4 a c - b ^{2}} (a u + \frac{b}{2 a})) : \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}})

= \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}})

定数を解答に追加する

= \frac{2}{- b ^{2} + 4 a c} arctan (\frac{2 a u + b}{4 a c - b ^{2}}) + C

グラフ

人気の例

integral of 1/(x*(1+ln(x)))

\int \frac{1}{x \cdot ( 1 + ln ( x ) )} d x

integral of e^{99ln(x)}

\int e^{99 l n (x)} d x

integral of (e^u)/(u^2)

\int \frac{e ^{u}}{u ^{2}} d u

integral of e^{2x}(e^x-2)^3

\int e^{2 x} (e^{x} - 2)^{3} d x

integral of 1/(2e^u)

\int \frac{1}{2 e ^{u}} d u