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integral of 2/((1+4x^2)^2)

Lösung

\int \frac{2}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{2}} d x

\frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{2}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{2}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \int \frac{1}{( 1 + 4 x ^{2} ) ^{2}} d x

Wende integrale Substitution an

= 2 \cdot \int \frac{1}{2 ( 1 + u ^{2} ) ^{2}} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{( 1 + u ^{2} ) ^{2}} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1}{sec ^{4} ( v ) cos ^{2} ( v )} d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x)))

Vereinfache

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x))) : \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x)))

= \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arctan (2 x) + \frac{1}{2} sin (2 arctan (2 x))) + C

\int 3 (8 x^{2} - 4)^{5} x d x

\int e^{x} (- sin (x)) d x

\int y e^{\frac{y}{2}} d y

\int \frac{3 + x ^{5}}{5 x} d x

\int - 4 cos (2 t) d t