integral of 1/((8+y^2)^{3/2)}

Lösung

\int \frac{1}{( 8 + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d y

\frac{y}{8 ( 8 + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{( 8 + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} d y

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{1}{8 sec ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{8} \cdot \int \frac{1}{sec ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{8} \cdot \int cos (u) d u

Nutze das gemeinsame Integral :

\int cos (u) d u = sin (u)

= \frac{1}{8} sin (u)

Setze in

u = arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} y)

ein

= \frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} y))

Vereinfache

\frac{1}{8} sin (arctan (\frac{1}{2 \cdot 2 ^{\frac{1}{2}}} y)) : \frac{y}{8 ( 8 + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

= \frac{y}{8 ( 8 + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{y}{8 ( 8 + y ^{2} ) ^{\frac{1}{2}}} + C

\int \frac{x - 3}{x ^{4} - 5 x ^{2} + 4} d x

\int \frac{x - 56}{x ^{2} + x - 56} d x

\int e^{2 x} y d x

\int \frac{x ^{2}}{2 x - x} d x

\int \frac{e ^{x}}{e ^{2 x} + 9 e ^{x} + 20} d x