integral of 4/(2-e^x)

Lösung

\int \frac{4}{2 - e ^{x}} d x

4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{4}{2 - e ^{x}} d x

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 4 \cdot \int \frac{1}{2 - e ^{x}} d x

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{u ( 2 - u )} d u

Vervollständige das Quadrat

u (2 - u) : - (u - 1)^{2} + 1

= 4 \cdot \int \frac{1}{- ( u - 1 ) ^{2} + 1} d u

Wende U-Substitution an

= 4 \cdot \int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- v ^{2} + 1} d v = \frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2}

= 4 (\frac{ln ∣ v + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ v - 1 ∣}{2})

Ersetze zurück

= 4 (\frac{ln ∣ e ^{x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 - 1 ∣}{2})

Vereinfache

4 (\frac{ln ∣ e ^{x} - 1 + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ e ^{x} - 1 - 1 ∣}{2}) : 4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣)

= 4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 4 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} ln ∣ e^{x} - 2 ∣) + C

\int \frac{( a ^{2} - a )}{3 - a ^{2}} d a

\int arcsin (\frac{5 z}{2}) d z

\int \frac{sin ( π x ^{2} )}{x} d x

\int 1 x^{- 2} d x

\int 20 x^{2} d x