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integral of sqrt((2x+1)^2-a^2)

Lösung

\int (2 x + 1)^{2} - a^{2} d x

\frac{1}{4} - a^{2} ln \frac{2 x + 1 + ( 2 x + 1 ) ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣} + (2 x + 1) (2 x + 1)^{2} - a^{2} + C

Schritte zur Lösung

\int (2 x + 1)^{2} - a^{2} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u ^{2} - a ^{2}}{2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int u^{2} - a^{2} d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \frac{1}{2} \cdot \int a^{2} tan^{2} (v) sec (v) d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} a^{2} \cdot \int tan^{2} (v) sec (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} a^{2} \cdot \int (- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) d v

Multipliziere aus

(- 1 + sec^{2} (v)) sec (v) : - sec (v) + sec^{3} (v)

= \frac{1}{2} a^{2} \cdot \int - sec (v) + sec^{3} (v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} a^{2} (- \int sec (v) d v + \int sec^{3} (v) d v)

\int sec (v) d v = ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

\int sec^{3} (v) d v = \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣

= \frac{1}{2} a^{2} (- ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣ + \frac{1}{2} sec (v) tan (v) + \frac{1}{2} ln ∣ tan (v) + sec (v) ∣)

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} a^{2} (- ln tan (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) tan (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))))

Vereinfache

\frac{1}{2} a^{2} (- ln tan (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + \frac{1}{2} sec (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) tan (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + \frac{1}{2} ln tan (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1))) + sec (arcsec (\frac{1}{a} (2 x + 1)))) : \frac{1}{4} - a^{2} ln \frac{2 x + 1 + ( 2 x + 1 ) ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣} + (2 x + 1) (2 x + 1)^{2} - a^{2}

= \frac{1}{4} - a^{2} ln \frac{2 x + 1 + ( 2 x + 1 ) ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣} + (2 x + 1) (2 x + 1)^{2} - a^{2}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{4} - a^{2} ln \frac{2 x + 1 + ( 2 x + 1 ) ^{2} - a ^{2}}{∣ a ∣} + (2 x + 1) (2 x + 1)^{2} - a^{2} + C

\int 2 x csc^{2} (6 x^{2}) d x

\int \frac{x + 6}{( x + 3 ) ( x + 5 )} d x

\int + \frac{8 x - 3}{12 x ^{2} - 7 x + 1} d x

\int \frac{4 cos ( x )}{( 3 + sin ( x ) ) ^{3}} d x

\int \frac{sin ^{3} ( x )}{2 x} d x