integral from 0 to t of sin(u)sin(t-u)

Lösung

\int_{0}^{t} sin (u) sin (t - u) d u

\frac{1}{2} (- t cos (t) + cos (t) \frac{1}{2} sin (2 t) + sin (t) \frac{1}{2} (- cos (2 t) + 1))

Schritte zur Lösung

\int_{0}^{t} sin (u) sin (t - u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int_{0}^{t} \frac{1}{2} (- cos (t) + cos (t - 2 u)) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{t} - cos (t) + cos (t - 2 u) d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{t} - cos (t) + cos (t) cos (2 u) + sin (t) sin (2 u) d u

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int_{0}^{t} cos (t) d u + \int_{0}^{t} cos (t) cos (2 u) d u + \int_{0}^{t} sin (t) sin (2 u) d u)

\int_{0}^{t} cos (t) d u = t cos (t)

\int_{0}^{t} cos (t) cos (2 u) d u = cos (t) \frac{1}{2} sin (2 t)

\int_{0}^{t} sin (t) sin (2 u) d u = sin (t) \frac{1}{2} (- cos (2 t) + 1)

= \frac{1}{2} (- t cos (t) + cos (t) \frac{1}{2} sin (2 t) + sin (t) \frac{1}{2} (- cos (2 t) + 1))

\int_{6}^{100} 2 x^{- 3} d x

\int_{1}^{e} 4 t^{3} ln (t) d t

\int_{1}^{4} \frac{e ^{x}}{2 x} d x

\int_{0}^{1} (9 x + 2) d x

\int_{0}^{2} x^{2} ln (3 x) d x