integral of (sec(x))/(sec(x)+tan(x))

Lösung

\int \frac{sec ( x )}{sec ( x ) + tan ( x )} d x

- 2 (- \frac{1}{( 1 + tan ( \frac{x}{2} ) ) ^{2}} + \frac{2}{1 + tan ( \frac{x}{2} )} + \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{- 2 tan ( \frac{x}{2} ) - sec ^{2} ( \frac{x}{2} )}) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sec ( x )}{sec ( x ) + tan ( x )} d x

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{2}{- u ^{2} - 2 u - 1} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 2 \cdot \int \frac{1}{- u ^{2} - 2 u - 1} d u

Wende die partielle Integration an

= - 2 (\frac{u}{- u ^{2} - 2 u - 1} - \int \frac{2 u}{( u + 1 ) ^{3}} d u)

\int \frac{2 u}{( u + 1 ) ^{3}} d u = - \frac{2}{u + 1} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}}

= - 2 (\frac{u}{- u ^{2} - 2 u - 1} - (- \frac{2}{u + 1} + \frac{1}{( u + 1 ) ^{2}}))

Setze in

u = tan (\frac{x}{2})

ein

= - 2 (\frac{tan ( \frac{x}{2} )}{- tan ^{2} ( \frac{x}{2} ) - 2 tan ( \frac{x}{2} ) - 1} - (- \frac{2}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{2}}))

Vereinfache

- 2 (\frac{tan ( \frac{x}{2} )}{- tan ^{2} ( \frac{x}{2} ) - 2 tan ( \frac{x}{2} ) - 1} - (- \frac{2}{tan ( \frac{x}{2} ) + 1} + \frac{1}{( tan ( \frac{x}{2} ) + 1 ) ^{2}})) : - 2 (- \frac{1}{( 1 + tan ( \frac{x}{2} ) ) ^{2}} + \frac{2}{1 + tan ( \frac{x}{2} )} + \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{- 2 tan ( \frac{x}{2} ) - sec ^{2} ( \frac{x}{2} )})

= - 2 (- \frac{1}{( 1 + tan ( \frac{x}{2} ) ) ^{2}} + \frac{2}{1 + tan ( \frac{x}{2} )} + \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{- 2 tan ( \frac{x}{2} ) - sec ^{2} ( \frac{x}{2} )})

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= - 2 (- \frac{1}{( 1 + tan ( \frac{x}{2} ) ) ^{2}} + \frac{2}{1 + tan ( \frac{x}{2} )} + \frac{tan ( \frac{x}{2} )}{- 2 tan ( \frac{x}{2} ) - sec ^{2} ( \frac{x}{2} )}) + C

d er i v a t i v e (ln (x))^{2}

\int_{1}^{2} x \cdot ln (x) d x

\int \frac{1}{4 + 5 x ^{6}} (30 x^{5}) d x

d er i v a t i v e x (2 x + 7)^{\frac{1}{3}}

t^{2} y^{^{''}} + 6 t y^{^{'}} - 6 y = 0