integral of (sqrt(x^5-1))/x

Lösung

\int \frac{x ^{5} - 1}{x} d x

\frac{2}{5} (- arctan (x^{5} - 1) + x^{5} - 1) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{5} - 1}{x} d x

Wende U-Substitution an

= \int \frac{u - 1}{5 u} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{u - 1}{u} d u

Wende U-Substitution an

= \frac{1}{5} \cdot \int \frac{2 v ^{2}}{v ^{2} + 1} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \int \frac{v ^{2}}{v ^{2} + 1} d v

\frac{v ^{2}}{v ^{2} + 1} = - \frac{1}{v ^{2} + 1} + 1

= \frac{1}{5} \cdot 2 \cdot \int - \frac{1}{v ^{2} + 1} + 1 d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{5} \cdot 2 (- \int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v + \int 1 d v)

\int \frac{1}{v ^{2} + 1} d v = arctan (v)

\int 1 d v = v

= \frac{1}{5} \cdot 2 (- arctan (v) + v)

Ersetze zurück

= \frac{1}{5} \cdot 2 (- arctan (x^{5} - 1) + x^{5} - 1)

Vereinfache

\frac{1}{5} \cdot 2 (- arctan (x^{5} - 1) + x^{5} - 1) : \frac{2}{5} (- arctan (x^{5} - 1) + x^{5} - 1)

= \frac{2}{5} (- arctan (x^{5} - 1) + x^{5} - 1)

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{2}{5} (- arctan (x^{5} - 1) + x^{5} - 1) + C

\int \frac{1}{x ^{2} - 4 x + 8} d x

\frac{d}{d x} (2 x^{x})

\int \frac{2 x - 3}{2 x + 1} d x

\int - 4 sin (5 x) sin (x) d x

\frac{d}{d x} (\frac{1}{1 + sin ( x )})