integral of (x^2)/a e^{-x/a}

解

\int \frac{x ^{2}}{a} e^{- \frac{x}{a}} d x

- e^{- \frac{x}{a}} (x^{2} + 2 a (x + a)) + C

解答ステップ

\int \frac{x ^{2}}{a} e^{- \frac{x}{a}} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int x^{2} e^{- \frac{x}{a}} d x

部分積分を適用する

= \frac{1}{a} (- a e^{- \frac{x}{a}} x^{2} - \int - 2 a e^{- \frac{x}{a}} x d x)

\int - 2 a e^{- \frac{x}{a}} x d x = - 2 a (- a e^{- \frac{x}{a}} x - a^{2} e^{- \frac{x}{a}})

= \frac{1}{a} (- a e^{- \frac{x}{a}} x^{2} - (- 2 a (- a e^{- \frac{x}{a}} x - a^{2} e^{- \frac{x}{a}})))

簡素化

\frac{1}{a} (- a e^{- \frac{x}{a}} x^{2} - (- 2 a (- a e^{- \frac{x}{a}} x - a^{2} e^{- \frac{x}{a}}))) : - e^{- \frac{x}{a}} (x^{2} + 2 a (x + a))

= - e^{- \frac{x}{a}} (x^{2} + 2 a (x + a))

定数を解答に追加する

= - e^{- \frac{x}{a}} (x^{2} + 2 a (x + a)) + C