integral of 1/(x^4sqrt(16x^2-9))

Lösung

\int \frac{1}{x ^{4} 16 x ^{2} - 9} d x

\frac{64}{81} \frac{16 x ^{2} - 9}{4 x} - \frac{( 16 x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}}{192 x ^{3}} + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{1}{x ^{4} 16 x ^{2} - 9} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int \frac{64}{81 sec ^{3} ( u )} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{64}{81} \cdot \int \frac{1}{sec ^{3} ( u )} d u

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{64}{81} \cdot \int (1 - sin^{2} (u)) cos (u) d u

Wende U-Substitution an

= \frac{64}{81} \cdot \int 1 - v^{2} d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{64}{81} (\int 1 d v - \int v^{2} d v)

\int 1 d v = v

\int v^{2} d v = \frac{v ^{3}}{3}

= \frac{64}{81} (v - \frac{v ^{3}}{3})

Ersetze zurück

= \frac{64}{81} (sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) - \frac{sin ^{3} ( arcsec ( \frac{4}{3} x ) )}{3})

Vereinfache

\frac{64}{81} (sin (arcsec (\frac{4}{3} x)) - \frac{sin ^{3} ( arcsec ( \frac{4}{3} x ) )}{3}) : \frac{64}{81} \frac{16 x ^{2} - 9}{4 x} - \frac{( 16 x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}}{192 x ^{3}}

= \frac{64}{81} \frac{16 x ^{2} - 9}{4 x} - \frac{( 16 x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}}{192 x ^{3}}

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{64}{81} \frac{16 x ^{2} - 9}{4 x} - \frac{( 16 x ^{2} - 9 ) ^{\frac{3}{2}}}{192 x ^{3}} + C