integral of x^5e^{-x}

解答

\int x^{5} e^{- x} d x

- e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + C

求解步骤

\int x^{5} e^{- x} d x

使用换元积分法

= \int e^{u} u^{5} d u

使用分布积分法

= u^{5} e^{u} - \int 5 u^{4} e^{u} d u

\int 5 u^{4} e^{u} d u = 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))

= u^{5} e^{u} - 5 (u^{4} e^{u} - 4 (u^{3} e^{u} - 3 (u^{2} e^{u} - 2 (e^{u} u - e^{u}))))

u = - x

代回

= (- x)^{5} e^{- x} - 5 ((- x)^{4} e^{- x} - 4 ((- x)^{3} e^{- x} - 3 ((- x)^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x}))))

化简

(- x)^{5} e^{- x} - 5 ((- x)^{4} e^{- x} - 4 ((- x)^{3} e^{- x} - 3 ((- x)^{2} e^{- x} - 2 (e^{- x} (- x) - e^{- x})))) : - e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))))

= - e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x}))))

解答补常数

= - e^{- x} x^{5} - 5 (e^{- x} x^{4} - 4 (- e^{- x} x^{3} - 3 (e^{- x} x^{2} - 2 (- e^{- x} x - e^{- x})))) + C

t an g e n t f (x) = \frac{5}{x}, at x = 2

\frac{d}{d x} (e^{2 x} x + 1)

\int 7 - \frac{1}{7 x ^{2}} d x

\int \frac{x ^{6}}{( 8 - x ^{7} ) ^{2}} d x

x \to \infty lim (1 + x)