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integral of (sin(θ))/(cos^2(θ)-cos(θ)-2)

Lösung

\int \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - cos ( θ ) - 2} d θ

\frac{1}{3} (ln \frac{2}{3} + \frac{2}{3} cos (θ) - ln - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} cos (θ)) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{sin ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) - cos ( θ ) - 2} d θ

Wende U-Substitution an

= \int - \frac{1}{u ^{2} - u - 2} d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{u ^{2} - u - 2} d u

Vervollständige das Quadrat

u^{2} - u - 2 : (u - \frac{1}{2})^{2} - \frac{9}{4}

= - \int \frac{1}{( u - \frac{1}{2} ) ^{2} - \frac{9}{4}} d u

Wende U-Substitution an

= - \int \frac{4}{4 v ^{2} - 9} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 \cdot \int \frac{1}{4 v ^{2} - 9} d v

Wende integrale Substitution an

= - 4 \cdot \int \frac{1}{6 ( w ^{2} - 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{w ^{2} - 1} d w

Faktorisiere

w^{2} - 1 : - (- w^{2} + 1)

= - 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \int \frac{1}{- ( - w ^{2} + 1 )} d w

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - 4 \cdot \frac{1}{6} (- \int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w)

Nutze das gemeinsame Integral :

\int \frac{1}{- w ^{2} + 1} d w = \frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}

= - 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln ∣ w + 1 ∣}{2} - \frac{ln ∣ w - 1 ∣}{2}))

Ersetze zurück

= - 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln \frac{2}{3} ( cos ( θ ) - \frac{1}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3} ( cos ( θ ) - \frac{1}{2} ) - 1}{2}))

Vereinfache

- 4 \cdot \frac{1}{6} (- (\frac{ln \frac{2}{3} ( cos ( θ ) - \frac{1}{2} ) + 1}{2} - \frac{ln \frac{2}{3} ( cos ( θ ) - \frac{1}{2} ) - 1}{2})) : \frac{1}{3} (ln \frac{2}{3} + \frac{2}{3} cos (θ) - ln - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} cos (θ))

= \frac{1}{3} (ln \frac{2}{3} + \frac{2}{3} cos (θ) - ln - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} cos (θ))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{3} (ln \frac{2}{3} + \frac{2}{3} cos (θ) - ln - \frac{4}{3} + \frac{2}{3} cos (θ)) + C

d er i v a t i v e y (θ) = cos (θ^{2})

x \to \infty lim (2 x^{4})

\frac{d y}{d x} = 2 y - x y

d er i v a t i v e (- 4 x^{2} + 1)^{2}

x \to 1 + lim (\frac{3}{x} - \frac{2}{ln ( x )})