integral from 1 to 2 of sin((npix)/2)

解

\int_{1}^{2} sin (\frac{nπ x}{2}) d x

\frac{2 ( - ( - 1 ) ^{n} + cos ( \frac{πn}{2} ) )}{πn}

解答ステップ

\int_{1}^{2} sin (\frac{nπ x}{2}) d x

\frac{nπ x}{2} = \frac{nπ}{2} x

= \int_{1}^{2} sin (\frac{nπ}{2} x) d x

u置換積分法を適用する

= \int_{\frac{πn}{2}}^{πn} \frac{2 sin ( u )}{πn} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{2}{πn} \cdot \int_{\frac{πn}{2}}^{πn} sin (u) d u

共通積分を使用する:

\int sin (u) d u = - cos (u)

= \frac{2}{πn} [- cos (u)]_{\frac{πn}{2}}^{πn}

限度を計算する:

- (- 1)^{n} + cos (\frac{πn}{2})

= \frac{2}{πn} (- (- 1)^{n} + cos (\frac{πn}{2}))

簡素化

= \frac{2 ( - ( - 1 ) ^{n} + cos ( \frac{πn}{2} ) )}{πn}