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Beliebt Trigonometrie >

tan^5(x)-9tan(x)=0

Lösung

tan^{5} (x) - 9 tan (x) = 0

Lösung

x = πn, x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

Grad

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

tan^{5} (x) - 9 tan (x) = 0

Löse mit Substitution

tan^{5} (x) - 9 tan (x) = 0

Angenommen:

tan (x) = u

u^{5} - 9 u = 0

u^{5} - 9 u = 0 : u = 0, u = 3 i, u = - 3 i, u = - 3, u = 3

u^{5} - 9 u = 0

Faktorisiere

u^{5} - 9 u : u (u^{2} + 3) (u + 3) (u - 3)

u^{5} - 9 u

Klammere gleiche Terme aus

u : u (u^{4} - 9)

u^{5} - 9 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{5} = u^{4} u

= u^{4} u - 9 u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u^{4} - 9)

= u (u^{4} - 9)

Faktorisiere

u^{4} - 9 : (u^{2} + 3) (u + 3) (u - 3)

u^{4} - 9

Schreibe

u^{4} - 9

um:

(u^{2})^{2} - 3^{2}

u^{4} - 9

Schreibe

9

um:

3^{2}

= u^{4} - 3^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

u^{4} = (u^{2})^{2}

= (u^{2})^{2} - 3^{2}

= (u^{2})^{2} - 3^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(u^{2})^{2} - 3^{2} = (u^{2} + 3) (u^{2} - 3)

= (u^{2} + 3) (u^{2} - 3)

Faktorisiere

u^{2} - 3 : (u + 3) (u - 3)

u^{2} - 3

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= u^{2} - (3)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - (3)^{2} = (u + 3) (u - 3)

= (u + 3) (u - 3)

= (u^{2} + 3) (u + 3) (u - 3)

= u (u^{2} + 3) (u + 3) (u - 3)

u (u^{2} + 3) (u + 3) (u - 3) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or u^{2} + 3 = 0 or u + 3 = 0 or u - 3 = 0

Löse

u^{2} + 3 = 0 : u = 3 i, u = - 3 i

u^{2} + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u^{2} + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u^{2} + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

u^{2} = - 3

u^{2} = - 3

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 3, u = - - 3

Vereinfache

- 3 : 3 i

- 3

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 3 i

Vereinfache

- - 3 : - 3 i

- - 3

Vereinfache

- 3 : 3 i

- 3

Wende Radikal Regel an:

- a = - 1 a

- 3 = - 1 3

= - 1 3

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= 3 i

= - 3 i

u = 3 i, u = - 3 i

Löse

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

u = - 3

u = - 3

Löse

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

u = 3

u = 3

Die Lösungen sind

u = 0, u = 3 i, u = - 3 i, u = - 3, u = 3

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) = 0, tan (x) = 3 i, tan (x) = - 3 i, tan (x) = - 3, tan (x) = 3

tan (x) = 0, tan (x) = 3 i, tan (x) = - 3 i, tan (x) = - 3, tan (x) = 3

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 0

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

Löse

x = 0 + πn : x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) = 3 i :

Keine Lösung

tan (x) = 3 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

tan (x) = - 3 i :

Keine Lösung

tan (x) = - 3 i

Keine L \overset{o}{¨} sung

tan (x) = - 3 : x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = - 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = - 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{2 π}{3} + πn

x = \frac{2 π}{3} + πn

tan (x) = 3 : x = \frac{π}{3} + πn

tan (x) = 3

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 3

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{3} + πn

x = \frac{π}{3} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = πn, x = \frac{2 π}{3} + πn, x = \frac{π}{3} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

1-cos(θ)= 1/2

1 - cos (θ) = \frac{1}{2}

(tan(θ)-1)(cos(θ)+1)=0

(tan (θ) - 1) (cos (θ) + 1) = 0

sin^2(θ)=cos^2(θ)

sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

solvefor x,sin(x)=0

so l v e f or x, sin (x) = 0

cos(θ)= 2/5

cos (θ) = \frac{2}{5}