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Beliebt Trigonometrie >

sec(2x)=tan(2x)+1

Lösung

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

Lösung

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Grad

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

Subtrahiere

tan (2 x) + 1

von beiden Seiten

sec (2 x) - tan (2 x) - 1 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1 = 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1 : \frac{1 - sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - 1

Ziehe Brüche zusammen

\frac{1}{cos ( 2 x )} - \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{- sin ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} - \frac{1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( 2 x ) - 1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (2 x) = cos (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

\frac{1 - sin ( 2 x ) - cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0

Füge

cos (2 x)

zu beiden Seiten hinzu

1 - sin (2 x) = cos (2 x)

Quadriere beide Seiten

(1 - sin (2 x))^{2} = cos^{2} (2 x)

Subtrahiere

cos^{2} (2 x)

von beiden Seiten

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) = 0

Faktorisiere

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) : (1 - sin (2 x) + cos (2 x)) (1 - sin (2 x) - cos (2 x))

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - sin (2 x))^{2} - cos^{2} (2 x) = ((1 - sin (2 x)) + cos (2 x)) ((1 - sin (2 x)) - cos (2 x))

= ((1 - sin (2 x)) + cos (2 x)) ((1 - sin (2 x)) - cos (2 x))

Fasse zusammen

= (cos (2 x) - sin (2 x) + 1) (- sin (2 x) - cos (2 x) + 1)

(1 - sin (2 x) + cos (2 x)) (1 - sin (2 x) - cos (2 x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 - sin (2 x) + cos (2 x) = 0 or 1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0

1 - sin (2 x) + cos (2 x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

1 - sin (2 x) + cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cos (2 x) - sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 + cos (2 x) - 2 sin (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) sin (x)

Vereinfache

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) sin (x) : 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - 2 cos (x) sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

= 2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) : 2 cos (x) (cos (x) - sin (x))

2 cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

cos^{2} (x) = cos (x) cos (x)

= 2 cos (x) cos (x) - 2 sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

2 cos (x)

= 2 cos (x) (cos (x) - sin (x))

2 cos (x) (cos (x) - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

cos (x) = 0 or cos (x) - sin (x) = 0

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) - sin (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

cos (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (x) - sin (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

1 - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - tan (x) = 0

1 - tan (x) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - tan (x) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - tan (x) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- tan (x) = - 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- tan (x) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- tan ( x )}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

1 - sin (2 x) - cos (2 x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - cos (2 x) - sin (2 x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 1 - cos (2 x) - 2 sin (x) cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= 1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) - 2 cos (x) sin (x)

Vereinfache

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) - 2 cos (x) sin (x) : 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (x)) - 2 cos (x) sin (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x)) : - 1 + 2 sin^{2} (x)

- (1 - 2 sin^{2} (x))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (x))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

= 2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) = 0

Faktorisiere

2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) : 2 sin (x) (sin (x) - cos (x))

2 sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) = sin (x) sin (x)

= 2 sin (x) sin (x) - 2 sin (x) cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

2 sin (x)

= 2 sin (x) (sin (x) - cos (x))

2 sin (x) (sin (x) - cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) = 0 or sin (x) - cos (x) = 0

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) - cos (x) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (x), cos (x) \neq = 0

\frac{sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (x) - 1 = 0

tan (x) - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

tan (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

tan (x) = 1

tan (x) = 1

Allgemeine Lösung für

tan (x) = 1

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn, x = π + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

ein, um zu lösen

sec (2 (\frac{π}{2} + 2 π 1)) = tan (2 (\frac{π}{2} + 2 π 1)) + 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falsch

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Setze

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

ein, um zu lösen

sec (2 (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)) = tan (2 (\frac{3 π}{2} + 2 π 1)) + 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{4} + πn :

Wahr

\frac{π}{4} + πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{4} + π 1

Setze

x = \frac{π}{4} + π 1

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

ein, um zu lösen

sec (2 (\frac{π}{4} + π 1)) = tan (2 (\frac{π}{4} + π 1)) + 1

Fasse zusammen

\infty = \infty

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

ein, um zu lösen

sec (2 \cdot 2 π 1) = tan (2 \cdot 2 π 1) + 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Wahr

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

sec (2 x) = tan (2 x) + 1

ein, um zu lösen

sec (2 (π + 2 π 1)) = tan (2 (π + 2 π 1)) + 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = \frac{π}{4} + πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Da die Gleichung undefiniert ist für:

\frac{π}{4} + πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(x)+3sec(x)+2=0

3sin(x)cos(x)-2cos(x)=0

sin(x)=cos(x)+1

5sin(x)+2=0

4-sec^2(x)=0