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Beliebt Trigonometrie >

cot(θ)+5csc(θ)=6

Lösung

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

Lösung

θ = 1.13005 \dots + 2 πn, θ = 2.34183 \dots + 2 πn

Grad

θ = 64.74731 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 134.17732 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

Subtrahiere

6

von beiden Seiten

cot (θ) + 5 csc (θ) - 6 = 0

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 = 0

Vereinfache

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 : \frac{cos ( θ ) + 5 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{5}{sin ( θ )}

5 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 5}{sin ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 5 = 5

= \frac{5}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{5}{sin ( θ )} - 6

Ziehe Brüche zusammen

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{5}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )} - 6

Wandle das Element in einen Bruch um:

6 = \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 5}{sin ( θ )} - \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 5 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 5 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 5 - 6 sin (θ) = 0

Füge

6 sin (θ)

zu beiden Seiten hinzu

cos (θ) + 5 = 6 sin (θ)

Quadriere beide Seiten

(cos (θ) + 5)^{2} = (6 sin (θ))^{2}

Subtrahiere

(6 sin (θ))^{2}

von beiden Seiten

(cos (θ) + 5)^{2} - 36 sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(5 + cos (θ))^{2} - 36 sin^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (5 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

Vereinfache

(5 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ)) : 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

(5 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(5 + cos (θ))^{2} : 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 5, b = cos (θ)

= 5^{2} + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Vereinfache

5^{2} + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

5^{2} + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ)

5^{2} = 25

= 25 + 2 \cdot 5 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 36 (1 - cos^{2} (θ)) : - 36 + 36 cos^{2} (θ)

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 cos^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 cos^{2} (θ)

= 25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

Vereinfache

25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ) : 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

25 + 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 10 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) + 25 - 36

Addiere gleiche Elemente:

cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) = 37 cos^{2} (θ)

= 10 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) + 25 - 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

25 - 36 = - 11

= 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

= 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

= 37 cos^{2} (θ) + 10 cos (θ) - 11

- 11 + 10 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 11 + 10 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 11 + 10 u + 37 u^{2} = 0

- 11 + 10 u + 37 u^{2} = 0 : u = \frac{- 5 + 12 3}{37}, u = - \frac{5 + 12 3}{37}

- 11 + 10 u + 37 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} + 10 u - 11 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

37 u^{2} + 10 u - 11 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 37, b = 10, c = - 11

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 11 )}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 1 0 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 11 )}{2 \cdot 37}

1 0^{2} - 4 \cdot 37 (- 11) = 243

1 0^{2} - 4 \cdot 37 (- 11)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 0^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 11

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 37 \cdot 11 = 1628

= 1 0^{2} + 1628

1 0^{2} = 100

= 100 + 1628

Addiere die Zahlen:

100 + 1628 = 1728

= 1728

Primfaktorzerlegung von

1728 : 2^{6} \cdot 3^{3}

1728

1728

ist durch

21728 = 864 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 864

864

ist durch

2864 = 432 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 432

432

ist durch

2432 = 216 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 216

216

ist durch

2216 = 108 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 108

108

ist durch

2108 = 54 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 54

54

ist durch

254 = 27 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 27

27

ist durch

327 = 9 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 9

9

ist durch

39 = 3 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3

= 2^{6} \cdot 3^{3}

= 2^{6} \cdot 3^{3}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{6} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 3 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 33

Fasse zusammen

= 243

u_{1, 2} = \frac{- 10 \pm 24 3}{2 \cdot 37}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 10 + 24 3}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- 10 - 24 3}{2 \cdot 37}

u = \frac{- 10 + 24 3}{2 \cdot 37} : \frac{- 5 + 12 3}{37}

\frac{- 10 + 24 3}{2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 10 + 24 3}{74}

Faktorisiere

- 10 + 243 : 2 (- 5 + 123)

- 10 + 243

Schreibe um

= - 2 \cdot 5 + 2 \cdot 123

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- 5 + 123)

= \frac{2 ( - 5 + 12 3 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{- 5 + 12 3}{37}

u = \frac{- 10 - 24 3}{2 \cdot 37} : - \frac{5 + 12 3}{37}

\frac{- 10 - 24 3}{2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 10 - 24 3}{74}

Faktorisiere

- 10 - 243 : - 2 (5 + 123)

- 10 - 243

Schreibe um

= - 2 \cdot 5 - 2 \cdot 123

Klammere gleiche Terme aus

2

= - 2 (5 + 123)

= - \frac{2 ( 5 + 12 3 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{5 + 12 3}{37}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 5 + 12 3}{37}, u = - \frac{5 + 12 3}{37}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}, cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}, cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37} : θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{- 5 + 12 3}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37} : θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{5 + 12 3}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

Wahr

arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

Falsch

2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = 2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (2 π - arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 6 = 6

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

6 = 6

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

Setze

θ = - arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1

cot (θ) + 5 csc (θ) = 6

ein, um zu lösen

cot (- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) + 5 csc (- arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 π 1) = 6

Fasse zusammen

- 6 = 6

\Rightarrow Falsch

θ = arccos (\frac{- 5 + 12 3}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{5 + 12 3}{37}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 1.13005 \dots + 2 πn, θ = 2.34183 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sqrt(3)csc^2(x)+2csc(x)=0

3 csc^{2} (x) + 2 csc (x) = 0

7sin(2x)sin(x)=7cos(x)

7 sin (2 x) sin (x) = 7 cos (x)

csc(x)+cot(x)=3

csc (x) + cot (x) = 3

sin^2(x)-sin(x)+1=cos^2(x)

sin^{2} (x) - sin (x) + 1 = cos^{2} (x)

sin(x/2)=(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{2}) = \frac{3}{2}