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Populaire Trigonométrie >

sec(x/2)=cos(x/2)

Solution

sec (\frac{x}{2}) = cos (\frac{x}{2})

Solution

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn

Degrés

x = 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n, x = 36 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

étapes des solutions

sec (\frac{x}{2}) = cos (\frac{x}{2})

Soustraire

cos (\frac{x}{2})

des deux côtés

sec (\frac{x}{2}) - cos (\frac{x}{2}) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

- cos (\frac{x}{2}) + sec (\frac{x}{2})

Utiliser l'identité trigonométrique de base:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - \frac{1}{sec ( \frac{x}{2} )} + sec (\frac{x}{2})

- \frac{1}{sec ( \frac{x}{2} )} + sec (\frac{x}{2}) = 0

Résoudre par substitution

- \frac{1}{sec ( \frac{x}{2} )} + sec (\frac{x}{2}) = 0

Soit :

sec (\frac{x}{2}) = u

- \frac{1}{u} + u = 0

- \frac{1}{u} + u = 0 : u = 1, u = - 1

- \frac{1}{u} + u = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- \frac{1}{u} + u = 0

Multiplier les deux côtés par

u

- \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Simplifier

- \frac{1}{u} u + uu = 0 \cdot u

Simplifier

- \frac{1}{u} u : - 1

- \frac{1}{u} u

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= - 1

Simplifier

uu : u^{2}

uu

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Additionner les nombres :

1 + 1 = 2

= u^{2}

Simplifier

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Appliquer la règle

0 \cdot a = 0

= 0

- 1 + u^{2} = 0

- 1 + u^{2} = 0

- 1 + u^{2} = 0

Résoudre

- 1 + u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

- 1 + u^{2} = 0

Déplacer

1

vers la droite

- 1 + u^{2} = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

- 1 + u^{2} + 1 = 0 + 1

Simplifier

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Pour

x^{2} = f (a)

les solutions sont

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Appliquer la règle

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Appliquer la règle

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

- \frac{1}{u} + u

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1, u = - 1

Remplacer

u = sec (\frac{x}{2})

sec (\frac{x}{2}) = 1, sec (\frac{x}{2}) = - 1

sec (\frac{x}{2}) = 1, sec (\frac{x}{2}) = - 1

sec (\frac{x}{2}) = 1 : x = 4 πn

sec (\frac{x}{2}) = 1

Solutions générales pour

sec (\frac{x}{2}) = 1

Tableau de périodicité

sec (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn

Résoudre

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn : x = 4 πn

\frac{x}{2} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{x}{2} = 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn

Simplifier

x = 4 πn

x = 4 πn

x = 4 πn

sec (\frac{x}{2}) = - 1 : x = 2 π + 4 πn

sec (\frac{x}{2}) = - 1

Solutions générales pour

sec (\frac{x}{2}) = - 1

Tableau de périodicité

sec (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

\frac{x}{2} = π + 2 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Résoudre

\frac{x}{2} = π + 2 πn : x = 2 π + 4 πn

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{x}{2} = π + 2 πn

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{2 x}{2} = 2 π + 2 \cdot 2 πn

Simplifier

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

x = 2 π + 4 πn

Combiner toutes les solutions

x = 4 πn, x = 2 π + 4 πn

Graphe

Exemples populaires

sec^2(x)-2tan^2(x)=0

tan(5x)+sqrt(3)=0

2tan(x)sin(x)-7sin(x)=0

sin^2(x)+sin(x)=2

-3sin^2(θ)+3=-10cos(θ)-3