English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

tan(3x)=5tan(x)

פתרון

tan (3 x) = 5 tan (x)

פתרון

x = πn, x = - 0.36136 \dots + πn, x = 0.36136 \dots + πn

מעלות

x = 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = - 20.70481 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 20.70481 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

צעדי פתרון

tan (3 x) = 5 tan (x)

משני האגפים

5 tan (x)

החסר

tan (3 x) - 5 tan (x) = 0

Rewrite using trig identities

tan (3 x) - 5 tan (x)

tan (3 x) = \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

tan (3 x)

Rewrite using trig identities

tan (3 x)

כתוב מחדש בתור

= tan (2 x + x)

tan (s + t) = \frac{tan ( s ) + tan ( t )}{1 - tan ( s ) tan ( t )}

:הפעל זהות של סכום זוויות

= \frac{tan ( 2 x ) + tan ( x )}{1 - tan ( 2 x ) tan ( x )}

= \frac{tan ( 2 x ) + tan ( x )}{1 - tan ( 2 x ) tan ( x )}

tan (2 x) = \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

:הפעל זהות של זווית כפולה

= \frac{\frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} + tan ( x )}{1 - \frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} tan ( x )}

\frac{\frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} + tan ( x )}{1 - \frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} tan ( x )}

פשט את:

\frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

\frac{\frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} + tan ( x )}{1 - \frac{2 t a n ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} tan ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} tan (x) = \frac{2 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} tan (x)

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{2 tan ( x ) tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

2 tan (x) tan (x) = 2 tan^{2} (x)

2 tan (x) tan (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

tan (x) tan (x) = tan^{1 + 1} (x)

= 2 tan^{1 + 1} (x)

1 + 1 = 2 :

חבר את המספרים

= 2 tan^{2} (x)

= \frac{2 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{2 t a n ( x )}{- t a n ^{2} ( x ) + 1} + tan ( x )}{1 - \frac{2 t a n ^{2} ( x )}{- t a n ^{2} ( x ) + 1}}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + tan (x)

אחד את:

\frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + tan (x)

tan (x) = \frac{tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{2 tan ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )} + \frac{tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{2 tan ( x ) + tan ( x ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

2 tan (x) + tan (x) (1 - tan^{2} (x))

הרחב את:

3 tan (x) - tan^{3} (x)

2 tan (x) + tan (x) (1 - tan^{2} (x))

tan (x) (1 - tan^{2} (x))

הרחב את:

tan (x) - tan^{3} (x)

tan (x) (1 - tan^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = tan (x), b = 1, c = tan^{2} (x)

= tan (x) 1 - tan (x) tan^{2} (x)

= 1 tan (x) - tan^{2} (x) tan (x)

1 \cdot tan (x) - tan^{2} (x) tan (x)

פשט את:

tan (x) - tan^{3} (x)

1 tan (x) - tan^{2} (x) tan (x)

1 \cdot tan (x) = tan (x)

1 tan (x)

1 \cdot tan (x) = tan (x) :

הכפל

= tan (x)

tan^{2} (x) tan (x) = tan^{3} (x)

tan^{2} (x) tan (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

tan^{2} (x) tan (x) = tan^{2 + 1} (x)

= tan^{2 + 1} (x)

2 + 1 = 3 :

חבר את המספרים

= tan^{3} (x)

= tan (x) - tan^{3} (x)

= tan (x) - tan^{3} (x)

= 2 tan (x) + tan (x) - tan^{3} (x)

2 tan (x) + tan (x) = 3 tan (x) :

חבר איברים דומים

= 3 tan (x) - tan^{3} (x)

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{3 t a n ( x ) - t a n ^{3} ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )}}{1 - \frac{2 t a n ^{2} ( x )}{- t a n ^{2} ( x ) + 1}}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{( 1 - tan ^{2} ( x ) ) ( 1 - \frac{2 t a n ^{2} ( x )}{1 - t a n ^{2} ( x )} )}

1 - \frac{2 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

אחד את:

\frac{1 - 3 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

1 - \frac{2 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

1 = \frac{1 ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{1 ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )} - \frac{2 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{1 ( 1 - tan ^{2} ( x ) ) - 2 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

1 \cdot (1 - tan^{2} (x)) - 2 tan^{2} (x) = 1 - 3 tan^{2} (x)

1 (1 - tan^{2} (x)) - 2 tan^{2} (x)

1 \cdot (1 - tan^{2} (x)) = 1 - tan^{2} (x)

1 (1 - tan^{2} (x))

1 \cdot (1 - tan^{2} (x)) = (1 - tan^{2} (x)) :

הכפל

= 1 - tan^{2} (x)

(a) = a

:הסר סוגריים

= 1 - tan^{2} (x)

= 1 - tan^{2} (x) - 2 tan^{2} (x)

- tan^{2} (x) - 2 tan^{2} (x) = - 3 tan^{2} (x) :

חבר איברים דומים

= 1 - 3 tan^{2} (x)

= \frac{1 - 3 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{\frac{- 3 t a n ^{2} ( x ) + 1}{- t a n ^{2} ( x ) + 1} ( - tan ^{2} ( x ) + 1 )}

(1 - tan^{2} (x)) \frac{1 - 3 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

הכפל ב:

1 - 3 tan^{2} (x)

(1 - tan^{2} (x)) \frac{1 - 3 tan ^{2} ( x )}{1 - tan ^{2} ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{( 1 - 3 tan ^{2} ( x ) ) ( 1 - tan ^{2} ( x ) )}{1 - tan ^{2} ( x )}

1 - tan^{2} (x) :

בטל את הגורמים המשותפים

= 1 - 3 tan^{2} (x)

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )} - 5 tan (x)

\frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )} - 5 tan (x)

פשט את:

\frac{- 2 tan ( x ) + 14 tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

\frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )} - 5 tan (x)

5 tan (x) = \frac{5 tan ( x ) ( 1 - 3 tan ^{2} ( x ) )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )} - \frac{5 tan ( x ) ( 1 - 3 tan ^{2} ( x ) )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{3 tan ( x ) - tan ^{3} ( x ) - 5 tan ( x ) ( 1 - 3 tan ^{2} ( x ) )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

3 tan (x) - tan^{3} (x) - 5 tan (x) (1 - 3 tan^{2} (x))

הרחב את:

- 2 tan (x) + 14 tan^{3} (x)

3 tan (x) - tan^{3} (x) - 5 tan (x) (1 - 3 tan^{2} (x))

- 5 tan (x) (1 - 3 tan^{2} (x))

הרחב את:

- 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

- 5 tan (x) (1 - 3 tan^{2} (x))

a (b - c) = ab - a c

: פתח סוגריים בעזרת

a = - 5 tan (x), b = 1, c = 3 tan^{2} (x)

= - 5 tan (x) \cdot 1 - (- 5 tan (x)) \cdot 3 tan^{2} (x)

הפעל חוקי מינוס-פלוס

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 \cdot tan (x) + 5 \cdot 3 tan^{2} (x) tan (x)

- 5 \cdot 1 \cdot tan (x) + 5 \cdot 3 tan^{2} (x) tan (x)

פשט את:

- 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

- 5 \cdot 1 \cdot tan (x) + 5 \cdot 3 tan^{2} (x) tan (x)

5 \cdot 1 \cdot tan (x) = 5 tan (x)

5 \cdot 1 \cdot tan (x)

5 \cdot 1 = 5 :

הכפל את המספרים

= 5 tan (x)

5 \cdot 3 tan^{2} (x) tan (x) = 15 tan^{3} (x)

5 \cdot 3 tan^{2} (x) tan (x)

5 \cdot 3 = 15 :

הכפל את המספרים

= 15 tan^{2} (x) tan (x)

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

tan^{2} (x) tan (x) = tan^{2 + 1} (x)

= 15 tan^{2 + 1} (x)

2 + 1 = 3 :

חבר את המספרים

= 15 tan^{3} (x)

= - 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

= - 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

= 3 tan (x) - tan^{3} (x) - 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

3 tan (x) - tan^{3} (x) - 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

פשט את:

- 2 tan (x) + 14 tan^{3} (x)

3 tan (x) - tan^{3} (x) - 5 tan (x) + 15 tan^{3} (x)

- tan^{3} (x) + 15 tan^{3} (x) = 14 tan^{3} (x) :

חבר איברים דומים

= 3 tan (x) + 14 tan^{3} (x) - 5 tan (x)

3 tan (x) - 5 tan (x) = - 2 tan (x) :

חבר איברים דומים

= - 2 tan (x) + 14 tan^{3} (x)

= - 2 tan (x) + 14 tan^{3} (x)

= \frac{- 2 tan ( x ) + 14 tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

= \frac{- 2 tan ( x ) + 14 tan ^{3} ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )}

\frac{14 tan ^{3} ( x ) - 2 tan ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )} = 0

בעזרת שיטת ההצבה

\frac{14 tan ^{3} ( x ) - 2 tan ( x )}{1 - 3 tan ^{2} ( x )} = 0

tan (x) = u :

נניח ש

\frac{14 u ^{3} - 2 u}{1 - 3 u ^{2}} = 0

\frac{14 u ^{3} - 2 u}{1 - 3 u ^{2}} = 0 : u = 0, u = - \frac{7}{7}, u = \frac{7}{7}

\frac{14 u ^{3} - 2 u}{1 - 3 u ^{2}} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

14 u^{3} - 2 u = 0

14 u^{3} - 2 u = 0

פתור את:

u = 0, u = - \frac{7}{7}, u = \frac{7}{7}

14 u^{3} - 2 u = 0

14 u^{3} - 2 u

פרק לגורמים את:

2 u (7 u + 1) (7 u - 1)

14 u^{3} - 2 u

2 u

הוצא את הגורם המשותף:

2 u (7 u^{2} - 1)

14 u^{3} - 2 u

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{3} = u^{2} u

= 14 u^{2} u - 2 u

2 \cdot 7

בתור

14

כתוב מחדש את

= 2 \cdot 7 u^{2} u - 2 u

2 u

הוצא את הגורם המשותף

= 2 u (7 u^{2} - 1)

= 2 u (7 u^{2} - 1)

7 u^{2} - 1

פרק לגורמים את:

(7 u + 1) (7 u - 1)

7 u^{2} - 1

(7 u)^{2} - 1^{2}

בתור

7 u^{2} - 1

כתוב מחדש את

7 u^{2} - 1

a = (a)^{2}

:הפעל את חוק השורשים

7 = (7)^{2}

= (7)^{2} u^{2} - 1

1^{2}

בתור

1

כתוב מחדש את

= (7)^{2} u^{2} - 1^{2}

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

:הפעל את חוק החזקות

(7)^{2} u^{2} = (7 u)^{2}

= (7 u)^{2} - 1^{2}

= (7 u)^{2} - 1^{2}

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

הפעל את חוק הפרש הריבועים

(7 u)^{2} - 1^{2} = (7 u + 1) (7 u - 1)

= (7 u + 1) (7 u - 1)

= 2 u (7 u + 1) (7 u - 1)

2 u (7 u + 1) (7 u - 1) = 0

פתור על ידי השוואת הגורמים לאפס

u = 0 or 7 u + 1 = 0 or 7 u - 1 = 0

7 u + 1 = 0

פתור את:

u = - \frac{7}{7}

7 u + 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

7 u + 1 = 0

משני האגפים

1

החסר

7 u + 1 - 1 = 0 - 1

פשט

7 u = - 1

7 u = - 1

7

חלק את שני האגפים ב

7 u = - 1

7

חלק את שני האגפים ב

\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}

פשט

\frac{7 u}{7} = \frac{- 1}{7}

\frac{7 u}{7}

פשט את:

u

\frac{7 u}{7}

7 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{- 1}{7}

פשט את:

- \frac{7}{7}

\frac{- 1}{7}

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= - \frac{1}{7}

- \frac{1}{7}

הפוך לרציונלי:

- \frac{7}{7}

- \frac{1}{7}

\frac{7}{7}

הכפל בצמוד

= - \frac{1 \cdot 7}{7 7}

1 \cdot 7 = 7

77 = 7

77

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

77 = 7

= 7

= - \frac{7}{7}

= - \frac{7}{7}

u = - \frac{7}{7}

u = - \frac{7}{7}

u = - \frac{7}{7}

7 u - 1 = 0

פתור את:

u = \frac{7}{7}

7 u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

7 u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

7 u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

7 u = 1

7 u = 1

7

חלק את שני האגפים ב

7 u = 1

7

חלק את שני האגפים ב

\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}

פשט

\frac{7 u}{7} = \frac{1}{7}

\frac{7 u}{7}

פשט את:

u

\frac{7 u}{7}

7 :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

\frac{1}{7}

פשט את:

\frac{7}{7}

\frac{1}{7}

\frac{7}{7}

הכפל בצמוד

= \frac{1 \cdot 7}{7 7}

1 \cdot 7 = 7

77 = 7

77

a a = a

:הפעל את חוק השורשים

77 = 7

= 7

= \frac{7}{7}

u = \frac{7}{7}

u = \frac{7}{7}

u = \frac{7}{7}

The solutions are

u = 0, u = - \frac{7}{7}, u = \frac{7}{7}

u = 0, u = - \frac{7}{7}, u = \frac{7}{7}

בדוק פתרונות

מצא נקודות לא מוגדרות:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

והשווה אותם לאפס

\frac{14 u ^{3} - 2 u}{1 - 3 u ^{2}}

קח את המכנים של

1 - 3 u^{2} = 0

פתור את:

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

1 - 3 u^{2} = 0

לצד ימין

1

העבר

1 - 3 u^{2} = 0

משני האגפים

1

החסר

1 - 3 u^{2} - 1 = 0 - 1

פשט

- 3 u^{2} = - 1

- 3 u^{2} = - 1

- 3

חלק את שני האגפים ב

- 3 u^{2} = - 1

- 3

חלק את שני האגפים ב

\frac{- 3 u ^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

פשט

u^{2} = \frac{1}{3}

u^{2} = \frac{1}{3}

x = f (a), - f (a)

הפתרונות הם

x^{2} = f (a)

עבור

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

:הפעל את חוק השורשים

= \frac{1}{3}

1 = 1

:הפעל את חוק השורשים

1 = 1

= \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} = - \frac{1}{3}

- \frac{1}{3}

\frac{a}{b} = \frac{a}{b}, a \geq 0, b \geq 0

:הפעל את חוק השורשים

= - \frac{1}{3}

1 = 1

:הפעל את חוק השורשים

1 = 1

= - \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

הנקודות הבאות לא מוגדרות

u = \frac{1}{3}, u = - \frac{1}{3}

חבר את הנקודות הלא מוגדרות עם הפתרונות

u = 0, u = - \frac{7}{7}, u = \frac{7}{7}

u = tan (x)

החלף בחזרה

tan (x) = 0, tan (x) = - \frac{7}{7}, tan (x) = \frac{7}{7}

tan (x) = 0, tan (x) = - \frac{7}{7}, tan (x) = \frac{7}{7}

tan (x) = 0 : x = πn

tan (x) = 0

tan (x) = 0 :

פתרונות כלליים עבור

tan (x)

periodicity table with

πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = 0 + πn

x = 0 + πn

x = 0 + πn

פתור את:

x = πn

x = 0 + πn

0 + πn = πn

x = πn

x = πn

tan (x) = - \frac{7}{7} : x = arctan (- \frac{7}{7}) + πn

tan (x) = - \frac{7}{7}

Apply trig inverse properties

tan (x) = - \frac{7}{7}

tan (x) = - \frac{7}{7} :

פתרונות כלליים עבור

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

x = arctan (- \frac{7}{7}) + πn

x = arctan (- \frac{7}{7}) + πn

tan (x) = \frac{7}{7} : x = arctan (\frac{7}{7}) + πn

tan (x) = \frac{7}{7}

Apply trig inverse properties

tan (x) = \frac{7}{7}

tan (x) = \frac{7}{7} :

פתרונות כלליים עבור

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

x = arctan (\frac{7}{7}) + πn

x = arctan (\frac{7}{7}) + πn

אחד את הפתרונות

x = πn, x = arctan (- \frac{7}{7}) + πn, x = arctan (\frac{7}{7}) + πn

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

x = πn, x = - 0.36136 \dots + πn, x = 0.36136 \dots + πn

גרף

דוגמאות פופולריות

2cos(2x)-sqrt(2)=0

2 cos (2 x) - 2 = 0

tan(x+20)*tan(x-20)=1

tan (x + 2 0^{\circ}) \cdot tan (x - 2 0^{\circ}) = 1

18cos(10x)+2=10

18 cos (10 x) + 2 = 10

cos(2θ)=sin(2θ)

cos (2 θ) = sin (2 θ)

2cos(x/2)=sqrt(3)

2 cos (\frac{x}{2}) = 3