解答
tan(x+20∘)⋅tan(x−20∘)=1
解答
x=45∘+180∘n,x=135∘+180∘n
+1
弧度
x=4π+πn,x=43π+πn求解步骤
tan(x+20∘)tan(x−20∘)=1
两边减去 1tan(x+20∘)tan(x−20∘)−1=0
化简 tan(x+20∘)tan(x−20∘)−1:tan(99x+180∘)tan(99x−180∘)−1
tan(x+20∘)tan(x−20∘)−1
tan(x+20∘)tan(x−20∘)=tan(99x+180∘)tan(99x−180∘)
tan(x+20∘)tan(x−20∘)
化简 x+20∘:99x+180∘
x+20∘
将项转换为分式: x=9x9=9x⋅9+20∘
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=9x⋅9+180∘
=tan(99x+180∘)tan(x−20∘)
化简 x−20∘:99x−180∘
x−20∘
将项转换为分式: x=9x9=9x⋅9−20∘
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=9x⋅9−180∘
=tan(99x+180∘)tan(99x−180∘)
=tan(99x+180∘)tan(99x−180∘)−1
tan(99x+180∘)tan(99x−180∘)−1=0
用 sin, cos 表示
−1+tan(9−180∘+9x)tan(9180∘+9x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=−1+cos(9−180∘+9x)sin(9−180∘+9x)tan(9180∘+9x)
使用基本三角恒等式: tan(x)=cos(x)sin(x)=−1+cos(9−180∘+9x)sin(9−180∘+9x)⋅cos(9180∘+9x)sin(9180∘+9x)
化简 −1+cos(9−180∘+9x)sin(9−180∘+9x)⋅cos(9180∘+9x)sin(9180∘+9x):cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)−cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)
−1+cos(9−180∘+9x)sin(9−180∘+9x)⋅cos(9180∘+9x)sin(9180∘+9x)
乘 cos(9−180∘+9x)sin(9−180∘+9x)⋅cos(9180∘+9x)sin(9180∘+9x):cos(99x−180∘)cos(99x+180∘)sin(99x−180∘)sin(99x+180∘)
cos(9−180∘+9x)sin(9−180∘+9x)⋅cos(9180∘+9x)sin(9180∘+9x)
分式相乘: ba⋅dc=b⋅da⋅c=cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)
=−1+cos(99x−180∘)cos(99x+180∘)sin(99x−180∘)sin(99x+180∘)
将项转换为分式: 1=cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)1cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)=−cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)1⋅cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)
因为分母相等，所以合并分式: ca±cb=ca±b=cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)−1⋅cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)
乘以:1⋅cos(9−180∘+9x)=cos(9−180∘+9x)=cos(99x−180∘)cos(99x+180∘)−cos(99x−180∘)cos(99x+180∘)+sin(99x−180∘)sin(99x+180∘)
=cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)−cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)
cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)−cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)=0
g(x)f(x)=0⇒f(x)=0−cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)=0
使用三角恒等式改写
−cos(9−180∘+9x)cos(9180∘+9x)+sin(9−180∘+9x)sin(9180∘+9x)
使用角和恒等式: cos(s)cos(t)−sin(s)sin(t)=cos(s+t)−cos(s)cos(t)+sin(s)sin(t)=−cos(s+t)=−cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)
−cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)=0
两边除以 −1
−cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)=0
两边除以 −1−1−cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)=−10
化简cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)=0
cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)=0
cos(9−180∘+9x+9180∘+9x)=0的通解
cos(x) 周期表（周期为 360∘n）：
x030∘45∘60∘90∘120∘135∘150∘cos(x)12322210−21−22−23x180∘210∘225∘240∘270∘300∘315∘330∘cos(x)−1−23−22−210212223
9−180∘+9x+9180∘+9x=90∘+360∘n,9−180∘+9x+9180∘+9x=270∘+360∘n
9−180∘+9x+9180∘+9x=90∘+360∘n,9−180∘+9x+9180∘+9x=270∘+360∘n
解 9−180∘+9x+9180∘+9x=90∘+360∘n:x=45∘+180∘n
9−180∘+9x+9180∘+9x=90∘+360∘n
在两边乘以 9
9−180∘+9x+9180∘+9x=90∘+360∘n
在两边乘以 99−180∘+9x⋅9+9180∘+9x⋅9=90∘⋅9+360∘n⋅9
化简
9−180∘+9x⋅9+9180∘+9x⋅9=90∘⋅9+360∘n⋅9
化简 9−180∘+9x⋅9:−180∘+9x
9−180∘+9x⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=9(−180∘+9x)⋅9
约分:9=−−180∘+9x
化简 9180∘+9x⋅9:180∘+9x
9180∘+9x⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=9(180∘+9x)⋅9
约分:9=180∘+9x
化简 90∘⋅9:810∘
90∘⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=810∘
化简 360∘n⋅9:3240∘n
360∘n⋅9
数字相乘:2⋅9=18=3240∘n
−180∘+9x+180∘+9x=810∘+3240∘n
18x=810∘+3240∘n
18x=810∘+3240∘n
18x=810∘+3240∘n
两边除以 18
18x=810∘+3240∘n
两边除以 181818x=18810∘+183240∘n
化简
1818x=18810∘+183240∘n
化简 1818x:x
1818x
数字相除:1818=1=x
化简 18810∘+183240∘n:45∘+180∘n
18810∘+183240∘n
18810∘=45∘
18810∘
使用分式法则: acb=c⋅ab=2⋅181620∘
数字相乘:2⋅18=36=45∘
约分:9=45∘
183240∘n=180∘n
183240∘n
数字相除:1818=1=180∘n
=45∘+180∘n
x=45∘+180∘n
x=45∘+180∘n
x=45∘+180∘n
解 9−180∘+9x+9180∘+9x=270∘+360∘n:x=135∘+180∘n
9−180∘+9x+9180∘+9x=270∘+360∘n
在两边乘以 9
9−180∘+9x+9180∘+9x=270∘+360∘n
在两边乘以 99−180∘+9x⋅9+9180∘+9x⋅9=270∘⋅9+360∘n⋅9
化简
9−180∘+9x⋅9+9180∘+9x⋅9=270∘⋅9+360∘n⋅9
化简 9−180∘+9x⋅9:−180∘+9x
9−180∘+9x⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=9(−180∘+9x)⋅9
约分:9=−−180∘+9x
化简 9180∘+9x⋅9:180∘+9x
9180∘+9x⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=9(180∘+9x)⋅9
约分:9=180∘+9x
化简 270∘⋅9:2430∘
270∘⋅9
分式相乘: a⋅cb=ca⋅b=2430∘
数字相乘:3⋅9=27=2430∘
化简 360∘n⋅9:3240∘n
360∘n⋅9
数字相乘:2⋅9=18=3240∘n
−180∘+9x+180∘+9x=2430∘+3240∘n
18x=2430∘+3240∘n
18x=2430∘+3240∘n
18x=2430∘+3240∘n
两边除以 18
18x=2430∘+3240∘n
两边除以 181818x=182430∘+183240∘n
化简
1818x=182430∘+183240∘n
化简 1818x:x
1818x
数字相除:1818=1=x
化简 182430∘+183240∘n:135∘+180∘n
182430∘+183240∘n
182430∘=135∘
182430∘
使用分式法则: acb=c⋅ab=2⋅184860∘
数字相乘:2⋅18=36=135∘
约分:9=135∘
183240∘n=180∘n
183240∘n
数字相除:1818=1=180∘n
=135∘+180∘n
x=135∘+180∘n
x=135∘+180∘n
x=135∘+180∘n
x=45∘+180∘n,x=135∘+180∘n