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Popolare Trigonometria >

2cosh(2x)-sinh(2x)=2

Soluzione

2 cosh (2 x) - sinh (2 x) = 2

Soluzione

x = \frac{1}{2} ln (3), x = 0

Gradi

x = 31.47292 \dots^{\circ}, x = 0^{\circ}

Fasi della soluzione

2 cosh (2 x) - sinh (2 x) = 2

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

2 cosh (2 x) - sinh (2 x) = 2

Usa l'identità iperbolica:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

2 cosh (2 x) - \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 2

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

2 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} - \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 2

2 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} - \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 2

2 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} - \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 2 : x = \frac{1}{2} ln (3), x = 0

2 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} - \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} = 2

Moltiplica entrambi i lati per

2

2 \cdot \frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 - \frac{e ^{2 x} - e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot 2

Semplificare

2 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) - (e^{2 x} - e^{- 2 x}) = 4

Applica le regole dell'esponente

2 (e^{2 x} + e^{- 2 x}) - (e^{2 x} - e^{- 2 x}) = 4

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}

2 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) - ((e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}) = 4

2 ((e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2}) - ((e^{x})^{2} - (e^{x})^{- 2}) = 4

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

2 ((u)^{2} + (u)^{- 2}) - ((u)^{2} - (u)^{- 2}) = 4

Risolvi

2 (u^{2} + u^{- 2}) - (u^{2} - u^{- 2}) = 4 : u = 3, u = - 3, u = 1, u = - 1

2 (u^{2} + u^{- 2}) - (u^{2} - u^{- 2}) = 4

Affinare

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) - (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) = 4

Semplificare

- (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}}) : - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}

- (u^{2} - \frac{1}{u ^{2}})

Distribuire le parentesi

= - (u^{2}) - (- \frac{1}{u ^{2}})

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 4

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) - u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 4

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 4 u^{2}

Semplificare

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 4 u^{2}

Semplificare

- u^{2} u^{2} : - u^{4}

- u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= - u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= - u^{4}

Semplificare

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 1

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{4} + 1 = 4 u^{2}

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{4} + 1 = 4 u^{2}

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{4} + 1 = 4 u^{2}

Espandere

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{4} + 1 : u^{4} + 3

2 (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) u^{2} - u^{4} + 1

= 2 u^{2} (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) - u^{4} + 1

Espandi

2 u^{2} (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}}) : 2 u^{4} + 2

2 u^{2} (u^{2} + \frac{1}{u ^{2}})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 2 u^{2}, b = u^{2}, c = \frac{1}{u ^{2}}

= 2 u^{2} u^{2} + 2 u^{2} \frac{1}{u ^{2}}

= 2 u^{2} u^{2} + 2 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Semplifica

2 u^{2} u^{2} + 2 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 2 u^{4} + 2

2 u^{2} u^{2} + 2 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

2 u^{2} u^{2} = 2 u^{4}

2 u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= 2 u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= 2 u^{4}

2 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2

2 \cdot \frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 1 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= 2

= 2 u^{4} + 2

= 2 u^{4} + 2

= 2 u^{4} + 2 - u^{4} + 1

Semplifica

2 u^{4} + 2 - u^{4} + 1 : u^{4} + 3

2 u^{4} + 2 - u^{4} + 1

Raggruppa termini simili

= 2 u^{4} - u^{4} + 2 + 1

Aggiungi elementi simili:

2 u^{4} - u^{4} = u^{4}

= u^{4} + 2 + 1

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= u^{4} + 3

= u^{4} + 3

u^{4} + 3 = 4 u^{2}

Risolvi

u^{4} + 3 = 4 u^{2} : u = 3, u = - 3, u = 1, u = - 1

u^{4} + 3 = 4 u^{2}

Spostare

4 u^{2}

a sinistra dell'equazione

u^{4} + 3 = 4 u^{2}

Sottrarre

4 u^{2}

da entrambi i lati

u^{4} + 3 - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 4 u^{2}

Semplificare

u^{4} + 3 - 4 u^{2} = 0

u^{4} + 3 - 4 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 4 u^{2} + 3 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 4 v + 3 = 0

Risolvi

v^{2} - 4 v + 3 = 0 : v = 3, v = 1

v^{2} - 4 v + 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

v^{2} - 4 v + 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 4, c = 3

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}{2 \cdot 1}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 2

(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 3 = 12

= 4^{2} - 12

4^{2} = 16

= 16 - 12

Sottrai i numeri:

16 - 12 = 4

= 4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

v_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 2}{2 \cdot 1}

Separare le soluzioni

v_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 2}{2 \cdot 1}, v_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 2}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 4 ) + 2}{2 \cdot 1} : 3

\frac{- ( - 4 ) + 2}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{4 + 2}{2 \cdot 1}

Aggiungi i numeri:

4 + 2 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{6}{2}

Dividi i numeri:

\frac{6}{2} = 3

= 3

v = \frac{- ( - 4 ) - 2}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 4 ) - 2}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{4 - 2}{2 \cdot 1}

Sottrai i numeri:

4 - 2 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

v = 3, v = 1

v = 3, v = 1

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 3 : u = 3, u = - 3

u^{2} = 3

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 3, u = - 3

Risolvi

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Le soluzioni sono

u = 3, u = - 3, u = 1, u = - 1

u = 3, u = - 3, u = 1, u = - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

2 (u^{2} + u^{- 2}) - (u^{2} - u^{- 2})

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 3, u = - 3, u = 1, u = - 1

u = 3, u = - 3, u = 1, u = - 1

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 3 : x = \frac{1}{2} ln (3)

e^{x} = 3

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 3

Applica la regola degli esponenti:

a = a^{\frac{1}{2}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

e^{x} = 3^{\frac{1}{2}}

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (3^{\frac{1}{2}})

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (3^{\frac{1}{2}})

Applica la regola del logaritmo:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (3^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} ln (3)

x = \frac{1}{2} ln (3)

x = \frac{1}{2} ln (3)

Risolvi

e^{x} = - 3 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 3

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

Risolvi

e^{x} = - 1 :

Nessuna soluzione per

x \in R

e^{x} = - 1

a^{f(x)} non può essere zero o negativo per x\in\mathbb{R}

Nessuna soluzione per x \in R

x = \frac{1}{2} ln (3), x = 0

x = \frac{1}{2} ln (3), x = 0

Grafico

Esempi popolari

3cot(2x)-1=0

3 cot (2 x) - 1 = 0

sec(x)=tan(x)-1

sec (x) = tan (x) - 1

tan(θ)= 5/4

tan (θ) = \frac{5}{4}

2cos(x)sin(x)-3sin(x)=0

2 cos (x) sin (x) - 3 sin (x) = 0

tan^2(θ)-sqrt(3)tan(θ)=0

tan^{2} (θ) - 3 tan (θ) = 0