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5sin(2θ)-7sin(θ)=0

Lösung

5 sin (2 θ) - 7 sin (θ) = 0

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.79539 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.79539 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 45.57299 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 314.42700 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin (2 θ) - 7 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

5 sin (2 θ) - 7 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 5 \cdot 2 sin (θ) cos (θ) - 7 sin (θ)

Vereinfache

= 10 sin (θ) cos (θ) - 7 sin (θ)

- 7 sin (θ) + 10 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 7 sin (θ) + 10 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (10 cos (θ) - 7)

- 7 sin (θ) + 10 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (- 7 + 10 cos (θ))

sin (θ) (10 cos (θ) - 7) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or 10 cos (θ) - 7 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

10 cos (θ) - 7 = 0 : θ = arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn

10 cos (θ) - 7 = 0

Verschiebe

7

auf die rechte Seite

10 cos (θ) - 7 = 0

Füge

7

zu beiden Seiten hinzu

10 cos (θ) - 7 + 7 = 0 + 7

Vereinfache

10 cos (θ) = 7

10 cos (θ) = 7

Teile beide Seiten durch

10

10 cos (θ) = 7

Teile beide Seiten durch

10

\frac{10 cos ( θ )}{10} = \frac{7}{10}

Vereinfache

cos (θ) = \frac{7}{10}

cos (θ) = \frac{7}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{7}{10}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{7}{10}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{7}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.79539 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.79539 \dots + 2 πn

cos (θ) = \frac{3}{3}

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (2)

2 sin^{2} (x) - 2 sin (x) = 0

sin (2 x) = - 2 cos (x)

cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - cos (x) = 1