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Beliebt Trigonometrie >

cos^3(x)+cos^2(x)-cos(x)=1

Lösung

cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - cos (x) = 1

Lösung

x = π + 2 πn, x = 2 πn

+1

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - cos (x) = 1

Löse mit Substitution

cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - cos (x) = 1

Angenommen:

cos (x) = u

u^{3} + u^{2} - u = 1

u^{3} + u^{2} - u = 1 : u = - 1, u = 1

u^{3} + u^{2} - u = 1

Verschiebe

1

auf die linke Seite

u^{3} + u^{2} - u = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 1 - 1

Vereinfache

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 0

u^{3} + u^{2} - u - 1 = 0

Faktorisiere

u^{3} + u^{2} - u - 1 : (u + 1)^{2} (u - 1)

u^{3} + u^{2} - u - 1

= (u^{3} + u^{2}) + (- u - 1)

Klammere

- 1

aus

- u - 1

aus

: - (u + 1)

- u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (u + 1)

Klammere

u^{2}

aus

u^{3} + u^{2}

aus

: u^{2} (u + 1)

u^{3} + u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} + u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (u + 1)

= - (u + 1) + u^{2} (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (u^{2} - 1)

Faktorisiere

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u + 1) (u - 1)

Fasse zusammen

= (u + 1)^{2} (u - 1)

(u + 1)^{2} (u - 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Löse

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

Löse

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Die Lösungen sind

u = - 1, u = 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1, cos (x) = 1

cos (x) = - 1, cos (x) = 1

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6sin(2x)sin(x)=6cos(x)

6 sin (2 x) sin (x) = 6 cos (x)

-3cos^2(θ)+11=-5sin(θ)+6

- 3 cos^{2} (θ) + 11 = - 5 sin (θ) + 6

sin (θ) = - 0.45

cos(2x)=-sin(x)

cos (2 x) = - sin (x)

sqrt(3)cot(t)-1=0,0<= t<= 2pi

3 cot (t) - 1 = 0, 0 \leq t \leq 2 π