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Beliebt Trigonometrie >

5(1-cos(θ))=sin^2(θ)

Lösung

5 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Lösung

θ = 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

Subtrahiere

sin^{2} (θ)

von beiden Seiten

5 (1 - cos (θ)) - sin^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 5

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 5

Vereinfache

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 5 : cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 4

- (1 - cos^{2} (θ)) + (1 - cos (θ)) \cdot 5

= - (1 - cos^{2} (θ)) + 5 (1 - cos (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- cos^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + (1 - cos (θ)) \cdot 5

Multipliziere aus

5 (1 - cos (θ)) : 5 - 5 cos (θ)

5 (1 - cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = cos (θ)

= 5 \cdot 1 - 5 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 cos (θ)

= - 1 + cos^{2} (θ) + 5 - 5 cos (θ)

Vereinfache

- 1 + cos^{2} (θ) + 5 - 5 cos (θ) : cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 4

- 1 + cos^{2} (θ) + 5 - 5 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) - 1 + 5

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 5 = 4

= cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 4

= cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 4

= cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) + 4

4 + cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

4 + cos^{2} (θ) - 5 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

4 + u^{2} - 5 u = 0

4 + u^{2} - 5 u = 0 : u = 4, u = 1

4 + u^{2} - 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 5 u + 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 5 u + 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 5, c = 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}{2 \cdot 1}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 3

(- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 4 = 16

= 5^{2} - 16

5^{2} = 25

= 25 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 16 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 3}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 1} : 4

\frac{- ( - 5 ) + 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 + 3}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

5 + 3 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{2} = 4

= 4

u = \frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 1} : 1

\frac{- ( - 5 ) - 3}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{5 - 3}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

5 - 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 4, u = 1

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 4, cos (θ) = 1

cos (θ) = 4, cos (θ) = 1

cos (θ) = 4 :

Keine Lösung

cos (θ) = 4

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(x)-sec(x)=1

tan (x) - sec (x) = 1

cos^2(x)+2cos(x)-2=0

cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2 = 0

-sin(4x)*4=0

- sin (4 x) \cdot 4 = 0

cos(θ)= 5/6

cos (θ) = \frac{5}{6}

cos(2x)=cos^2(x)-1/2

cos (2 x) = cos^{2} (x) - \frac{1}{2}