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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(θ)+2-cos^2(θ)=3sin(θ)

Lösung

sin^{2} (θ) + 2 - cos^{2} (θ) = 3 sin (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (θ) + 2 - cos^{2} (θ) = 3 sin (θ)

Subtrahiere

3 sin (θ)

von beiden Seiten

sin^{2} (θ) + 2 - cos^{2} (θ) - 3 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 - cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 2 - (1 - sin^{2} (θ)) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

Vereinfache

2 - (1 - sin^{2} (θ)) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

2 - (1 - sin^{2} (θ)) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

- (1 - sin^{2} (θ)) : - 1 + sin^{2} (θ)

- (1 - sin^{2} (θ))

Setze Klammern

= - (1) - (- sin^{2} (θ))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + sin^{2} (θ)

= 2 - 1 + sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

Vereinfache

2 - 1 + sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) : 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

2 - 1 + sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 2 sin^{2} (θ)

= 2 - 1 + 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ)

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 1 = 1

= 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

= 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

= 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) + 1

1 + 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 8 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sin(x)=sin^2(x)

sin (x) = sin^{2} (x)

sin^2(x)=cos^2(x)-1

sin^{2} (x) = cos^{2} (x) - 1

tan^2(x)+2tan(x)+1=0

tan^{2} (x) + 2 tan (x) + 1 = 0

sin^2(x)+sin(x)cos(x)=0

sin^{2} (x) + sin (x) cos (x) = 0

4sin(x)+5=4+sin(x)

4 sin (x) + 5 = 4 + sin (x)