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Popolare Trigonometria >

sqrt(cos^2(2x)+1)+sin(2x)=2

Soluzione

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Soluzione

x = \frac{π}{4} + πn

Gradi

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) = 2

Sottrarre

2

da entrambi i lati

cos^{2} (2 x) + 1 + sin (2 x) - 2 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 2 + sin (2 x) + 1 + cos^{2} (2 x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 2 + sin (2 x) + 1 + 1 - sin^{2} (2 x)

Semplificare

= - 2 + sin (2 x) + - sin^{2} (2 x) + 2

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 + sin (2 x) + 2 - sin^{2} (2 x) = 0

Sia:

sin (2 x) = u

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0 : u = 1

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Rimuovi radici quadrate

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Sottrarre

u

da entrambi i lati

- 2 + u + 2 - u^{2} - u = 0 - u

Semplificare

2 - u^{2} - 2 = - u

Aggiungi

2

ad entrambi i lati

2 - u^{2} - 2 + 2 = - u + 2

Semplificare

2 - u^{2} = - u + 2

Eleva entrambi i lati al quadrato:

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

(2 - u^{2})^{2} = (- u + 2)^{2}

Espandere

(2 - u^{2})^{2} : 2 - u^{2}

(2 - u^{2})^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((2 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (2 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 2 - u^{2}

Espandere

(- u + 2)^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u + 2)^{2}

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - u, b = 2

= (- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Semplifica

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2} : u^{2} - 4 u + 4

(- u)^{2} + 2 (- u) \cdot 2 + 2^{2}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= (- u)^{2} - 2 u \cdot 2 + 2^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- u)^{2} = u^{2}

= u^{2} - 2 \cdot 2 u + 2^{2}

Affinare

= u^{2} - 4 u + 4

= u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Risolvi

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4 : u = 1

2 - u^{2} = u^{2} - 4 u + 4

Scambia i lati

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Spostare

u^{2}

a sinistra dell'equazione

u^{2} - 4 u + 4 = 2 - u^{2}

Aggiungi

u^{2}

ad entrambi i lati

u^{2} - 4 u + 4 + u^{2} = 2 - u^{2} + u^{2}

Semplificare

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Spostare

2

a sinistra dell'equazione

2 u^{2} - 4 u + 4 = 2

Sottrarre

2

da entrambi i lati

2 u^{2} - 4 u + 4 - 2 = 2 - 2

Semplificare

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} - 4 u + 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = - 4, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Sottrai i numeri:

16 - 16 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2} = 1

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = 1

La soluzione dell'equazione quadratica è:

u = 1

u = 1

Verificare le soluzioni:

u = 1

Vero

Verifica le soluzioni sostituendole in

- 2 + u + 2 - u^{2} = 0

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

u = 1 :

Vero

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2} = 0

- 2 + 1 + 2 - 1^{2}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= - 2 + 1 + 2 - 1

2 - 1 = 1

2 - 1

Sottrai i numeri:

2 - 1 = 1

= 1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

= - 2 + 1 + 1

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 2 + 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

Vero

La soluzione è

u = 1

Sostituire indietro

u = sin (2 x)

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1

sin (2 x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

sin (2 x) = 1

Soluzioni generali per

sin (2 x) = 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Risolvi

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4} + πn

Grafico

Esempi popolari

8sin^2(x)2cos(x)=7,0<= x<= 2pi

8 sin^{2} (x) 2 cos (x) = 7, 0 \leq x \leq 2 π

2sin^2(x)-sin(x)+3=4

2 sin^{2} (x) - sin (x) + 3 = 4

9cos(2x)=9cos^2(x)-4

9 cos (2 x) = 9 cos^{2} (x) - 4

2-cos(x)=0

2 - cos (x) = 0

sin(1/x)=1

sin (\frac{1}{x}) = 1