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Beliebt Trigonometrie >

cos(2θ)+5cos(θ)+3=0

Lösung

cos (2 θ) + 5 cos (θ) + 3 = 0

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) + 5 cos (θ) + 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

3 + cos (2 θ) + 5 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 3 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 5 cos (θ)

Vereinfache

3 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 5 cos (θ) : 2 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) + 2

3 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 5 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) + 3 - 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= 2 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) + 2

= 2 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) + 2

2 + 2 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 2 cos^{2} (θ) + 5 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 + 2 u^{2} + 5 u = 0

2 + 2 u^{2} + 5 u = 0 : u = - \frac{1}{2}, u = - 2

2 + 2 u^{2} + 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 5 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 5 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 5, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2}

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 3

5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 5^{2} - 16

5^{2} = 25

= 25 - 16

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 16 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 5 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 5 + 3}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- 5 + 3}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 3 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{2}

u = \frac{- 5 - 3}{2 \cdot 2} : - 2

\frac{- 5 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 3 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 8}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1}{2}, u = - 2

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = - 2

cos (θ) = - \frac{1}{2}, cos (θ) = - 2

cos (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - 2 :

Keine Lösung

cos (θ) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos(x)=2

2 cos (x) = 2

sin(2θ)=sqrt(3)sin(θ)

sin (2 θ) = 3 sin (θ)

cot(x/2)=1

cot (\frac{x}{2}) = 1

-8tan^2(θ)-4tan(θ)-11=6tan(θ)-8

- 8 tan^{2} (θ) - 4 tan (θ) - 11 = 6 tan (θ) - 8

2cos^2(x)+3cos(x)-5=0

2 cos^{2} (x) + 3 cos (x) - 5 = 0