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人気のある三角関数 >

cos(θ)+sqrt(3)sin(θ)=1

解

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

解

θ = 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

+1

度

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

解答ステップ

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

両辺から

3 sin (θ)

を引く

cos (θ) = 1 - 3 sin (θ)

両辺を2乗する

cos^{2} (θ) = (1 - 3 sin (θ))^{2}

両辺から

(1 - 3 sin (θ))^{2}

を引く

cos^{2} (θ) - 1 + 23 sin (θ) - 3 sin^{2} (θ) = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

- 1 + cos^{2} (θ) - 3 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) 3

ピタゴラスの公式を使用する:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 3 sin^{2} (θ) + 23 sin (θ) - sin^{2} (θ)

簡素化

= - 4 sin^{2} (θ) + 23 sin (θ)

- 4 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) 3 = 0

置換で解く

- 4 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) 3 = 0

仮定:

sin (θ) = u

- 4 u^{2} + 2 u 3 = 0

- 4 u^{2} + 2 u 3 = 0 : u = 0, u = \frac{3}{2}

- 4 u^{2} + 2 u 3 = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

- 4 u^{2} + 23 u = 0

解くとthe二次式

- 4 u^{2} + 23 u = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = - 4, b = 23, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- 2 3 \pm ( 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

u_{1, 2} = \frac{- 2 3 \pm ( 2 3 ) ^{2} - 4 ( - 4 ) \cdot 0}{2 ( - 4 )}

(23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0 = 23

(23)^{2} - 4 (- 4) \cdot 0

規則を適用

- (- a) = a

= (23)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 0

(23)^{2} = 2^{2} \cdot 3

(23)^{2}

指数の規則を適用する:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

累乗根の規則を適用する:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

指数の規則を適用する:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

分数を乗じる:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

共通因数を約分する:

2

= 1

= 3

= 2^{2} \cdot 3

4 \cdot 4 \cdot 0 = 0

4 \cdot 4 \cdot 0

規則を適用

0 \cdot a = 0

= 0

= 2^{2} \cdot 3 + 0

2^{2} \cdot 3 + 0 = 2^{2} \cdot 3

= 2^{2} \cdot 3

累乗根の規則を適用する:

, 以下を想定

a \geq 0, b \geq 0

= 3 2^{2}

累乗根の規則を適用する:

, 以下を想定

a \geq 0

2^{2} = 2

= 23

u_{1, 2} = \frac{- 2 3 \pm 2 3}{2 ( - 4 )}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 2 3 + 2 3}{2 ( - 4 )}, u_{2} = \frac{- 2 3 - 2 3}{2 ( - 4 )}

u = \frac{- 2 3 + 2 3}{2 ( - 4 )} : 0

\frac{- 2 3 + 2 3}{2 ( - 4 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 2 3 + 2 3}{- 2 \cdot 4}

類似した元を足す:

- 23 + 23 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{0}{- 8}

分数の規則を適用する:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{8}

規則を適用

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

u = \frac{- 2 3 - 2 3}{2 ( - 4 )} : \frac{3}{2}

\frac{- 2 3 - 2 3}{2 ( - 4 )}

括弧を削除する:

(- a) = - a

= \frac{- 2 3 - 2 3}{- 2 \cdot 4}

類似した元を足す:

- 23 - 23 = - 43

= \frac{- 4 3}{- 2 \cdot 4}

数を乗じる:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4 3}{- 8}

分数の規則を適用する:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4 3}{8}

共通因数を約分する:

4

= \frac{3}{2}

二次equationの解:

u = 0, u = \frac{3}{2}

代用を戻す

u = sin (θ)

sin (θ) = 0, sin (θ) = \frac{3}{2}

sin (θ) = 0, sin (θ) = \frac{3}{2}

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

以下の一般解

sin (θ) = 0

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

解く

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

sin (θ) = \frac{3}{2}

以下の一般解

sin (θ) = \frac{3}{2}

sin (x)

2 πn

循環を含む周期性テーブル:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

すべての解を組み合わせる

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

元のequationに当てはめて解を検算する

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

に当てはめて解を確認する

equationに一致しないものを削除する。

解答を確認する

2 πn :

真

2 πn

挿入

n = 1

2 π 1

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

の挿入向け

θ = 2 π 1

cos (2 π 1) + 3 sin (2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

解答を確認する

π + 2 πn :

偽

π + 2 πn

挿入

n = 1

π + 2 π 1

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

の挿入向け

θ = π + 2 π 1

cos (π + 2 π 1) + 3 sin (π + 2 π 1) = 1

改良

- 1 = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

\frac{π}{3} + 2 πn :

偽

\frac{π}{3} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

の挿入向け

θ = \frac{π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{π}{3} + 2 π 1) + 3 sin (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 1

改良

2 = 1

\Rightarrow 偽

解答を確認する

\frac{2 π}{3} + 2 πn :

真

\frac{2 π}{3} + 2 πn

挿入

n = 1

\frac{2 π}{3} + 2 π 1

cos (θ) + 3 sin (θ) = 1

の挿入向け

θ = \frac{2 π}{3} + 2 π 1

cos (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) + 3 sin (\frac{2 π}{3} + 2 π 1) = 1

改良

1 = 1

\Rightarrow 真

θ = 2 πn, θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn

グラフ

人気の例

6tan(x)-2sqrt(3)=0

2cos^3(x)-cos^2(x)=cos(x)

4cos^2(x)-2=0,0<= x<= 2pi