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Populaire Trigonométrie >

2cos^3(x)-cos^2(x)=cos(x)

Solution

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) = cos (x)

Solution

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Degrés

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) = cos (x)

Résoudre par substitution

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) = cos (x)

Soit :

cos (x) = u

2 u^{3} - u^{2} = u

2 u^{3} - u^{2} = u : u = 0, u = - \frac{1}{2}, u = 1

2 u^{3} - u^{2} = u

Déplacer

u

vers la gauche

2 u^{3} - u^{2} = u

Soustraire

u

des deux côtés

2 u^{3} - u^{2} - u = u - u

Simplifier

2 u^{3} - u^{2} - u = 0

2 u^{3} - u^{2} - u = 0

Factoriser

2 u^{3} - u^{2} - u : u (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{3} - u^{2} - u

Factoriser le terme commun

u : u (2 u^{2} - u - 1)

2 u^{3} - u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 u^{2} u - uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u^{2} - u - 1)

= u (2 u^{2} - u - 1)

Factoriser

2 u^{2} - u - 1 : (2 u + 1) (u - 1)

2 u^{2} - u - 1

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} - u - 1

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = - 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

vraiVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Faux

u = 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

= (2 u^{2} + u) + (- 2 u - 1)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u + 1)

Factoriser

- 1

depuis

- 2 u - 1 : - (2 u + 1)

- 2 u - 1

Factoriser le terme commun

- 1

= - (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - (2 u + 1)

Factoriser le terme commun

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 1)

= u (2 u + 1) (u - 1)

u (2 u + 1) (u - 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u = 0 or 2 u + 1 = 0 or u - 1 = 0

Résoudre

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

2 u = - 1

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = - 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplifier

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Les solutions sont

u = 0, u = - \frac{1}{2}, u = 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = 0, cos (x) = - \frac{1}{2}, cos (x) = 1

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Solutions générales pour

cos (x) = 0

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Solutions générales pour

cos (x) = 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Résoudre

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = \frac{2 π}{3} + 2 πn, x = \frac{4 π}{3} + 2 πn, x = 2 πn

Graphe

Exemples populaires

4cos^2(x)-2=0,0<= x<= 2pi

4 cos^{2} (x) - 2 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

2sin^2(x)+cos(x)-1=0,0<= x<= 2pi

2 sin^{2} (x) + cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

sin(x)-tan(x)=cos(x)-1

sin (x) - tan (x) = cos (x) - 1

2-8cos^2(x)=0

2 - 8 cos^{2} (x) = 0

sin(2θ-pi/2)=1

sin (2 θ - \frac{π}{2}) = 1