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Beliebt Trigonometrie >

2cos(x)=2+sin(x)

Lösung

2 cos (x) = 2 + sin (x)

Lösung

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Grad

x = - 53.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (x) = 2 + sin (x)

Quadriere beide Seiten

(2 cos (x))^{2} = (2 + sin (x))^{2}

Subtrahiere

(2 + sin (x))^{2}

von beiden Seiten

4 cos^{2} (x) - 4 - 4 sin (x) - sin^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - sin^{2} (x) + 4 cos^{2} (x) - 4 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x)

Vereinfache

- 4 - sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x) : - 5 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

- 4 - sin^{2} (x) + 4 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin (x)

Multipliziere aus

4 (1 - sin^{2} (x)) : 4 - 4 sin^{2} (x)

4 (1 - sin^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 4 \cdot 1 - 4 sin^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 sin^{2} (x)

= - 4 - sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

Vereinfache

- 4 - sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) : - 5 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

- 4 - sin^{2} (x) + 4 - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 + 4

Addiere gleiche Elemente:

- sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 5 sin^{2} (x)

= - 5 sin^{2} (x) - 4 sin (x) - 4 + 4

- 4 + 4 = 0

= - 5 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

= - 5 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

= - 5 sin^{2} (x) - 4 sin (x)

- 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 4 sin (x) - 5 sin^{2} (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- 4 u - 5 u^{2} = 0

- 4 u - 5 u^{2} = 0 : u = - \frac{4}{5}, u = 0

- 4 u - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - 4 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} - 4 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = - 4, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 0}{2 ( - 5 )}

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 0 = 4

(- 4)^{2} - 4 (- 5) \cdot 0

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 4^{2} + 0

4^{2} + 0 = 4^{2}

= 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )} : - \frac{4}{5}

\frac{- ( - 4 ) + 4}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 + 4}{- 2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

4 + 4 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{8}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{4}{5}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )} : 0

\frac{- ( - 4 ) - 4}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{4 - 4}{- 2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

4 - 4 = 0

= \frac{0}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{0}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{0}{10}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= - 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{4}{5}, u = 0

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{4}{5}, sin (x) = 0

sin (x) = - \frac{4}{5} : x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{4}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{4}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{4}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

sin (x) = 0 : x = 2 πn, x = π + 2 πn

sin (x) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 πn, x = π + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

2 cos (x) = 2 + sin (x)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1

2 cos (x) = 2 + sin (x)

ein, um zu lösen

2 cos (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1) = 2 + sin (arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.2 = 1.2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1

2 cos (x) = 2 + sin (x)

ein, um zu lösen

2 cos (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1) = 2 + sin (π + arcsin (\frac{4}{5}) + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 1.2 = 1.2

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn :

Wahr

2 πn

Setze ein

n = 1

2 π 1

Setze

x = 2 π 1

2 cos (x) = 2 + sin (x)

ein, um zu lösen

2 cos (2 π 1) = 2 + sin (2 π 1)

Fasse zusammen

2 = 2

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π + 2 πn :

Falsch

π + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + 2 π 1

Setze

x = π + 2 π 1

2 cos (x) = 2 + sin (x)

ein, um zu lösen

2 cos (π + 2 π 1) = 2 + sin (π + 2 π 1)

Fasse zusammen

- 2 = 2

\Rightarrow Falsch

x = arcsin (- \frac{4}{5}) + 2 πn, x = 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 0.92729 \dots + 2 πn, x = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3sqrt(2)cos(θ)+1=-2

32 cos (θ) + 1 = - 2

5sin(2θ)=9tan(θ)

5 sin (2 θ) = 9 tan (θ)

0=1-2sin(x)

0 = 1 - 2 sin (x)

4sin^2(2x)=3

4 sin^{2} (2 x) = 3

cos(θ/2)=-1/2

cos (\frac{θ}{2}) = - \frac{1}{2}