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solvefor t,x=cos(t)+cos(2t)

解

解く

t, x = cos (t) + cos (2 t)

解

t = arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn

解答ステップ

x = cos (t) + cos (2 t)

辺を交換する

cos (t) + cos (2 t) = x

両辺から

x

を引く

cos (t) + cos (2 t) - x = 0

三角関数の公式を使用して書き換える

cos (2 t) + cos (t) - x

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 cos^{2} (t) - 1 + cos (t) - x

- 1 + cos (t) - x + 2 cos^{2} (t) = 0

置換で解く

- 1 + cos (t) - x + 2 cos^{2} (t) = 0

仮定:

cos (t) = u

- 1 + u - x + 2 u^{2} = 0

- 1 + u - x + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}, u = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

- 1 + u - x + 2 u^{2} = 0

標準的な形式で書く

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + u - 1 - x = 0

解くとthe二次式

2 u^{2} + u - 1 - x = 0

二次Equationの公式:

次の場合:

a = 2, b = 1, c = - 1 - x

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 - x )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 - x )}{2 \cdot 2}

簡素化

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1 - x) : 8 x + 9

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1 - x)

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- x - 1)

数を乗じる:

4 \cdot 2 = 8

= 1 - 8 (- x - 1)

拡張

1 - 8 (- 1 - x) : 8 x + 9

1 - 8 (- 1 - x)

拡張

- 8 (- 1 - x) : 8 + 8 x

- 8 (- 1 - x)

分配法則を適用する:

a (b - c) = ab - a c

a = - 8, b = - 1, c = x

= - 8 (- 1) - (- 8) x

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a

= 8 \cdot 1 + 8 x

数を乗じる:

8 \cdot 1 = 8

= 8 + 8 x

= 1 + 8 + 8 x

数を足す:

1 + 8 = 9

= 8 x + 9

= 8 x + 9

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 8 x + 9}{2 \cdot 2}

解を分離する

u_{1} = \frac{- 1 + 8 x + 9}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 8 x + 9}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 8 x + 9}{2 \cdot 2} : \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}

\frac{- 1 + 8 x + 9}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}

u = \frac{- 1 - 8 x + 9}{2 \cdot 2} : \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

\frac{- 1 - 8 x + 9}{2 \cdot 2}

数を乗じる:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

二次equationの解:

u = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}, u = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

代用を戻す

u = cos (t)

cos (t) = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}, cos (t) = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

cos (t) = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}, cos (t) = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

cos (t) = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4} : t = arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (t) = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}

以下の一般解

cos (t) = \frac{- 1 + 8 x + 9}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

t = arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn

t = arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4} : t = arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn

cos (t) = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

三角関数の逆数プロパティを適用する

cos (t) = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

以下の一般解

cos (t) = \frac{- 1 - 8 x + 9}{4}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = - arccos (a) + 2 πn

t = arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn

t = arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn

すべての解を組み合わせる

t = arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 + 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn, t = - arccos (\frac{- 1 - 8 x + 9}{4}) + 2 πn

グラフ

人気の例

solvefor x,sin(x)=-1

9-9sin(θ)=6cos^2(θ)