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Beliebt Trigonometrie >

sin(a)+1=2sqrt(1-sin^2(a))

Lösung

sin (a) + 1 = 2 1 - sin^{2} (a)

Lösung

a = 0.64350 \dots + 2 πn, a = π - 0.64350 \dots + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

a = 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 143.13010 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, a = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (a) + 1 = 2 1 - sin^{2} (a)

Löse mit Substitution

sin (a) + 1 = 2 1 - sin^{2} (a)

Angenommen:

sin (a) = u

u + 1 = 2 1 - u^{2}

u + 1 = 2 1 - u^{2} : u = \frac{3}{5}, u = - 1

u + 1 = 2 1 - u^{2}

Quadriere beide Seiten:

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

u + 1 = 2 1 - u^{2}

(u + 1)^{2} = (2 1 - u^{2})^{2}

Schreibe

(u + 1)^{2}

um:

u^{2} + 2 u + 1

(u + 1)^{2}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} + 2 u \cdot 1 + 1^{2}

Vereinfache

u^{2} + 2 u \cdot 1 + 1^{2} : u^{2} + 2 u + 1

u^{2} + 2 u \cdot 1 + 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} + 2 \cdot 1 \cdot u + 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= u^{2} + 2 u + 1

= u^{2} + 2 u + 1

Schreibe

(2 1 - u^{2})^{2}

um:

4 - 4 u^{2}

(2 1 - u^{2})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} (1 - u^{2})^{2}

(1 - u^{2})^{2} : 1 - u^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 - u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 - u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 - u^{2}

= 2^{2} (1 - u^{2})

2^{2} = 4

= 4 (1 - u^{2})

Schreibe

4 (1 - u^{2})

um:

4 - 4 u^{2}

4 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = 1, c = u^{2}

= 4 \cdot 1 - 4 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 u^{2}

= 4 - 4 u^{2}

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

Löse

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2} : u = \frac{3}{5}, u = - 1

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

Verschiebe

4 u^{2}

auf die linke Seite

u^{2} + 2 u + 1 = 4 - 4 u^{2}

Füge

4 u^{2}

zu beiden Seiten hinzu

u^{2} + 2 u + 1 + 4 u^{2} = 4 - 4 u^{2} + 4 u^{2}

Vereinfache

5 u^{2} + 2 u + 1 = 4

5 u^{2} + 2 u + 1 = 4

Verschiebe

4

auf die linke Seite

5 u^{2} + 2 u + 1 = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

5 u^{2} + 2 u + 1 - 4 = 4 - 4

Vereinfache

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} + 2 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = 2, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 3 )}{2 \cdot 5}

2^{2} - 4 \cdot 5 (- 3) = 8

2^{2} - 4 \cdot 5 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 3 = 60

= 2^{2} + 60

2^{2} = 4

= 4 + 60

Addiere die Zahlen:

4 + 60 = 64

= 64

Faktorisiere die Zahl:

64 = 8^{2}

= 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

8^{2} = 8

= 8

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 8}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5}

u = \frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5} : \frac{3}{5}

\frac{- 2 + 8}{2 \cdot 5}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 2 + 8 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3}{5}

u = \frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5} : - 1

\frac{- 2 - 8}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 8 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 10}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{10}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3}{5}, u = - 1

u = \frac{3}{5}, u = - 1

Überprüfe die Lösungen:

u = \frac{3}{5}

Wahr

, u = - 1

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

u + 1 = 2 1 - u^{2}

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

u = \frac{3}{5} :

Wahr

(\frac{3}{5}) + 1 = 2 1 - (\frac{3}{5})^{2}

(\frac{3}{5}) + 1 = \frac{8}{5}

(\frac{3}{5}) + 1

Entferne die Klammern:

(a) = a

= \frac{3}{5} + 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 5}{5}

= \frac{1 \cdot 5}{5} + \frac{3}{5}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 5 + 3}{5}

1 \cdot 5 + 3 = 8

1 \cdot 5 + 3

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 5 = 5

= 5 + 3

Addiere die Zahlen:

5 + 3 = 8

= 8

= \frac{8}{5}

2 1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{8}{5}

2 1 - (\frac{3}{5})^{2}

1 - (\frac{3}{5})^{2} = \frac{4}{5}

1 - (\frac{3}{5})^{2}

(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}

(\frac{3}{5})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{3 ^{2}}{5 ^{2}}

3^{2} = 9

= \frac{9}{5 ^{2}}

5^{2} = 25

= \frac{9}{25}

= 1 - \frac{9}{25}

Füge

1 - \frac{9}{25}

zusammen:

\frac{16}{25}

1 - \frac{9}{25}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 25}{25}

= \frac{1 \cdot 25}{25} - \frac{9}{25}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 25 - 9}{25}

1 \cdot 25 - 9 = 16

1 \cdot 25 - 9

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 25 = 25

= 25 - 9

Subtrahiere die Zahlen:

25 - 9 = 16

= 16

= \frac{16}{25}

= \frac{16}{25}

Wende Radikal Regel an:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{16}{25}

25 = 5

25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

= \frac{16}{5}

16 = 4

16

Faktorisiere die Zahl:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

4^{2} = 4

= 4

= \frac{4}{5}

= 2 \cdot \frac{4}{5}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 \cdot 2}{5}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{8}{5}

\frac{8}{5} = \frac{8}{5}

Wahr

Setze ein

u = - 1 :

Wahr

(- 1) + 1 = 2 1 - (- 1)^{2}

(- 1) + 1 = 0

(- 1) + 1

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= 0

2 1 - (- 1)^{2} = 0

2 1 - (- 1)^{2}

1 - (- 1)^{2} = 0

1 - (- 1)^{2}

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

= 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= 0

Wende Regel an

0 = 0

= 0

= 2 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Die Lösungen sind

u = \frac{3}{5}, u = - 1

Setze in

u = sin (a)

ein

sin (a) = \frac{3}{5}, sin (a) = - 1

sin (a) = \frac{3}{5}, sin (a) = - 1

sin (a) = \frac{3}{5} : a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (a) = \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (a) = \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (a) = \frac{3}{5}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (a) = - 1 : a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (a) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (a) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

a = arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = π - arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

a = 0.64350 \dots + 2 πn, a = π - 0.64350 \dots + 2 πn, a = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

4cos(x)-3=0

4 cos (x) - 3 = 0

cos(θ)cos(2θ)+sin(θ)sin(2θ)= 1/2

cos (θ) cos (2 θ) + sin (θ) sin (2 θ) = \frac{1}{2}

8sin(x)tan(x)+tan(x)=0

8 sin (x) tan (x) + tan (x) = 0

sin(x)-3=cos(x)-3

sin (x) - 3 = cos (x) - 3

sin(x)+4csc(x)+5=0

sin (x) + 4 csc (x) + 5 = 0