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Popolare Trigonometria >

20cos^6(x)-57cos^4(x)+27cos^2(x)=0

Soluzione

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Soluzione

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Gradi

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 39.23152 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 320.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 140.76847 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

20 cos^{6} (x) - 57 cos^{4} (x) + 27 cos^{2} (x) = 0

Sia:

cos (x) = u

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0 : u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

20 u^{6} - 57 u^{4} + 27 u^{2} = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

v^{3} = u^{6}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Risolvi

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0 : v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v = 0

Fattorizza

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v : v (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Fattorizzare dal termine comune

v : v (20 v^{2} - 57 v + 27)

20 v^{3} - 57 v^{2} + 27 v

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 v^{2} v - 57 vv + 27 v

Fattorizzare dal termine comune

v

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

= v (20 v^{2} - 57 v + 27)

Fattorizza

20 v^{2} - 57 v + 27 : (5 v - 3) (4 v - 9)

20 v^{2} - 57 v + 27

Suddividere l'espressione in gruppi

20 v^{2} - 57 v + 27

Definizione

Fattori di

540 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

540

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

540 : 2, 2, 3, 3, 3, 5

540

540

diviso per

2540 = 270 \cdot 2

= 2 \cdot 270

270

diviso per

2270 = 135 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 135

135

diviso per

3135 = 45 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 45

45

diviso per

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15

15

diviso per

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Moltiplica i fattori primi di

540 : 4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

4, 6, 12, 9, 18, 36, 27, 54, 108, 10, 20, 15, 30, 60, 45, 90, 180, 135, 270

Aggiungi i fattori primi:

2, 3, 5

Aggiungi 1 al numero

540

stesso

1, 540

I fattori di

540

1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 27, 30, 36, 45, 54, 60, 90, 108, 135, 180, 270, 540

Fattori negativi di

540 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 4, - 5, - 6, - 9, - 10, - 12, - 15, - 18, - 20, - 27, - 30, - 36, - 45, - 54, - 60, - 90, - 108, - 135, - 180, - 270, - 540

Per ogni due fattori tali che

u * v = 540,

controllare se

u + v = - 57

Verifica

u = 1, v = 540 : u * v = 540, u + v = 541 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = 270 : u * v = 540, u + v = 272 \Rightarrow

Falso

u = - 12, v = - 45

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

= (20 v^{2} - 12 v) + (- 45 v + 27)

Fattorizza

4 v

20 v^{2} - 12 v : 4 v (5 v - 3)

20 v^{2} - 12 v

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

v^{2} = vv

= 20 vv - 12 v

Riscrivi

12

come

4 \cdot 3

Riscrivi

20

come

4 \cdot 5

= 4 \cdot 5 vv - 4 \cdot 3 v

Fattorizzare dal termine comune

4 v

= 4 v (5 v - 3)

Fattorizza

- 9

- 45 v + 27 : - 9 (5 v - 3)

- 45 v + 27

Riscrivi

27

come

9 \cdot 3

Riscrivi

45

come

9 \cdot 5

= - 9 \cdot 5 v + 9 \cdot 3

Fattorizzare dal termine comune

- 9

= - 9 (5 v - 3)

= 4 v (5 v - 3) - 9 (5 v - 3)

Fattorizzare dal termine comune

5 v - 3

= (5 v - 3) (4 v - 9)

= v (5 v - 3) (4 v - 9)

v (5 v - 3) (4 v - 9) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

v = 0 or 5 v - 3 = 0 or 4 v - 9 = 0

Risolvi

5 v - 3 = 0 : v = \frac{3}{5}

5 v - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

5 v - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

5 v - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

5 v = 3

5 v = 3

Dividere entrambi i lati per

5

5 v = 3

Dividere entrambi i lati per

5

\frac{5 v}{5} = \frac{3}{5}

Semplificare

v = \frac{3}{5}

v = \frac{3}{5}

Risolvi

4 v - 9 = 0 : v = \frac{9}{4}

4 v - 9 = 0

Spostare

9

a destra dell'equazione

4 v - 9 = 0

Aggiungi

9

ad entrambi i lati

4 v - 9 + 9 = 0 + 9

Semplificare

4 v = 9

4 v = 9

Dividere entrambi i lati per

4

4 v = 9

Dividere entrambi i lati per

4

\frac{4 v}{4} = \frac{9}{4}

Semplificare

v = \frac{9}{4}

v = \frac{9}{4}

Le soluzioni sono

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

v = 0, v = \frac{3}{5}, v = \frac{9}{4}

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Risolvi

u^{2} = \frac{3}{5} : u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

u^{2} = \frac{3}{5}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}

Risolvi

u^{2} = \frac{9}{4} : u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

u^{2} = \frac{9}{4}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{9}{4}, u = - \frac{9}{4}

\frac{9}{4} = \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

- \frac{9}{4} = - \frac{3}{2}

- \frac{9}{4}

Semplifica

\frac{9}{4} : \frac{3}{2}

\frac{9}{4}

Applicare la regola della radice:

n \frac{a}{b} = \frac{n a}{n b},

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{9}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

= \frac{9}{2}

9 = 3

9

Fattorizzare il numero:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

= \frac{3}{2}

= - \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Le soluzioni sono

u = 0, u = \frac{3}{5}, u = - \frac{3}{5}, u = \frac{3}{2}, u = - \frac{3}{2}

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0, cos (x) = \frac{3}{5}, cos (x) = - \frac{3}{5}, cos (x) = \frac{3}{2}, cos (x) = - \frac{3}{2}

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5} : x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{5}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = \frac{3}{5}

Soluzioni generali per

cos (x) = \frac{3}{5}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5} : x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3}{5}

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

cos (x) = - \frac{3}{5}

Soluzioni generali per

cos (x) = - \frac{3}{5}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3}{2} :

Nessuna soluzione

cos (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{3}{2} :

Nessuna soluzione

cos (x) = - \frac{3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3}{5}) + 2 πn, x = arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3}{5}) + 2 πn

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn, x = 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.68471 \dots + 2 πn, x = 2.45687 \dots + 2 πn, x = - 2.45687 \dots + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

2sin^2(w)-3sin(w)+1=0

2 sin^{2} (w) - 3 sin (w) + 1 = 0

2+sin(x)=5sin(x)

2 + sin (x) = 5 sin (x)

2cos(θ)+5=0

2 cos (θ) + 5 = 0

sin(x)cos(x)=cos(x)

sin (x) cos (x) = cos (x)

2cos(2θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

2 cos (2 θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π