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Popular Trigonometria >

cos(x/3)-cos(x/(15))=0

Solução

cos (\frac{x}{3}) - cos (\frac{x}{15}) = 0

Solução

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn, x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Graus

x = 0^{\circ} + 270 0^{\circ} n, x = 135 0^{\circ} + 270 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 180 0^{\circ} n, x = 90 0^{\circ} + 180 0^{\circ} n

Passos da solução

cos (\frac{x}{3}) - cos (\frac{x}{15}) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos (\frac{x}{15}) + cos (\frac{x}{3})

Use a identidade da transformação de soma em produto:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

Simplificar

- 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2}) : - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

- 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2} = \frac{x}{5}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}

Simplificar

\frac{x}{3} + \frac{x}{15}

em uma fração:

\frac{2 x}{5}

\frac{x}{3} + \frac{x}{15}

Mínimo múltiplo comum de

3, 15 : 15

3, 15

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

3 : 3

3

3

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 3

Decomposição em fatores primos de

15 : 3 \cdot 5

15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 3 \cdot 5

3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 3 \cdot 5

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

3

ou em

15

= 3 \cdot 5

Multiplicar os números:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{x}{3} :

multiplique o numerador e o denominador por

5

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{x \cdot 5}{15}

= \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x}{15}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 5 + x}{15}

Somar elementos similares:

5 x + x = 6 x

= \frac{6 x}{15}

Eliminar o fator comum:

3

= \frac{2 x}{5}

= \frac{\frac{2 x}{5}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 x}{5 \cdot 2}

Multiplicar os números:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{2 x}{10}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{x}{5}

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2} = \frac{2 x}{15}

\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2}

Simplificar

\frac{x}{3} - \frac{x}{15}

em uma fração:

\frac{4 x}{15}

\frac{x}{3} - \frac{x}{15}

Mínimo múltiplo comum de

3, 15 : 15

3, 15

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

3 : 3

3

3

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 3

Decomposição em fatores primos de

15 : 3 \cdot 5

15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 3 \cdot 5

3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 3 \cdot 5

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

3

ou em

15

= 3 \cdot 5

Multiplicar os números:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{x}{3} :

multiplique o numerador e o denominador por

5

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{x \cdot 5}{15}

= \frac{x \cdot 5}{15} - \frac{x}{15}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 5 - x}{15}

Somar elementos similares:

5 x - x = 4 x

= \frac{4 x}{15}

= \frac{\frac{4 x}{15}}{2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 x}{15 \cdot 2}

Multiplicar os números:

15 \cdot 2 = 30

= \frac{4 x}{30}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{2 x}{15}

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

- 2 sin (\frac{2 x}{15}) sin (\frac{x}{5}) = 0

Resolver cada parte separadamente

sin (\frac{2 x}{15}) = 0 or sin (\frac{x}{5}) = 0

sin (\frac{2 x}{15}) = 0 : x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

sin (\frac{2 x}{15}) = 0

Soluções gerais para

sin (\frac{2 x}{15}) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn, \frac{2 x}{15} = π + 2 πn

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn, \frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Resolver

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn : x = 15 πn

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{2 x}{15} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

15

\frac{2 x}{15} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

15

\frac{15 \cdot 2 x}{15} = 15 \cdot 2 πn

Simplificar

2 x = 30 πn

2 x = 30 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = 30 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{30 πn}{2}

Simplificar

x = 15 πn

x = 15 πn

Resolver

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn : x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

15

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

15

\frac{15 \cdot 2 x}{15} = 15 π + 15 \cdot 2 πn

Simplificar

2 x = 15 π + 30 πn

2 x = 15 π + 30 πn

Dividir ambos os lados por

2

2 x = 15 π + 30 πn

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 x}{2} = \frac{15 π}{2} + \frac{30 πn}{2}

Simplificar

x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

sin (\frac{x}{5}) = 0 : x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

sin (\frac{x}{5}) = 0

Soluções gerais para

sin (\frac{x}{5}) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn, \frac{x}{5} = π + 2 πn

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn, \frac{x}{5} = π + 2 πn

Resolver

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn : x = 10 πn

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{5} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

5

\frac{x}{5} = 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

5

\frac{5 x}{5} = 5 \cdot 2 πn

Simplificar

x = 10 πn

x = 10 πn

Resolver

\frac{x}{5} = π + 2 πn : x = 5 π + 10 πn

\frac{x}{5} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

5

\frac{x}{5} = π + 2 πn

Multiplicar ambos os lados por

5

\frac{5 x}{5} = 5 π + 5 \cdot 2 πn

Simplificar

x = 5 π + 10 πn

x = 5 π + 10 πn

x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Combinar toda as soluções

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn, x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Gráfico

Exemplos populares

arctan(x)=3

tan(x)cos(x)=cos(x)

4cos^2(θ)-2=-1

sinh(x)= 7/24 ,cosh(x)

2sin(x)+sin(2x)=cos(x)+1