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Popular Trigonometria >

sqrt(3)=sqrt(3)cos(2θ)+sin(2θ)

Solução

3 = 3 cos (2 θ) + sin (2 θ)

Solução

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Graus

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Passos da solução

3 = 3 cos (2 θ) + sin (2 θ)

Trocar lados

3 cos (2 θ) + sin (2 θ) = 3

Subtrair

3

de ambos os lados

3 cos (2 θ) + sin (2 θ) - 3 = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

sin (2 θ) - 3 + cos (2 θ) 3

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) - 3 + 3 cos (2 θ)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 3 + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 cos (θ) sin (θ)

Simplificar

- 3 + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 cos (θ) sin (θ) : - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

- 3 + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 cos (θ) sin (θ)

Expandir

3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 3 - 23 sin^{2} (θ)

3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

= 1 \cdot 3 - 23 sin^{2} (θ)

Multiplicar:

1 \cdot 3 = 3

= 3 - 23 sin^{2} (θ)

= - 3 + 3 - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Somar elementos similares:

- 3 + 3 = 0

= - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

= - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) 3 = 0

Fatorar

2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) 3 : 2 sin (θ) (cos (θ) - 3 sin (θ))

2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) 3

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (θ) = sin (θ) sin (θ)

= 2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin (θ) sin (θ) 3

Reescrever como

= 2 sin (θ) cos (θ) - 2 sin (θ) sin (θ) 3

Fatorar o termo comum

2 sin (θ)

= 2 sin (θ) (cos (θ) - sin (θ) 3)

2 sin (θ) (cos (θ) - 3 sin (θ)) = 0

Resolver cada parte separadamente

sin (θ) = 0 or cos (θ) - 3 sin (θ) = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Soluções gerais para

sin (θ) = 0

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Resolver

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos (θ) - 3 sin (θ) = 0 : θ = \frac{π}{6} + πn

cos (θ) - 3 sin (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (θ) - 3 sin (θ) = 0

Dividir ambos os lados por

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{cos ( θ ) - 3 sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Simplificar

1 - \frac{3 sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - 3 tan (θ) = 0

1 - 3 tan (θ) = 0

Mova

1

para o lado direito

1 - 3 tan (θ) = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

1 - 3 tan (θ) - 1 = 0 - 1

Simplificar

- 3 tan (θ) = - 1

- 3 tan (θ) = - 1

Dividir ambos os lados por

- 3

- 3 tan (θ) = - 1

Dividir ambos os lados por

- 3

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

Simplificar

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

Simplificar

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3} : tan (θ)

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3 tan ( θ )}{3}

Eliminar o fator comum:

3

= tan (θ)

Simplificar

\frac{- 1}{- 3} : \frac{3}{3}

\frac{- 1}{- 3}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{1}{3}

Racionalizar

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

Soluções gerais para

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{6} + πn

θ = \frac{π}{6} + πn

Combinar toda as soluções

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Gráfico

Exemplos populares

6cos(x)+6sin(x)=3sqrt(6)

3sin(x)+1=0

(tan(x)+1)(cos(x)-1)=0

cot(θ)=-1/(sqrt(3))

3sqrt(2)cos(θ)+3=6