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Beliebt Trigonometrie >

4sin^2(x/2)+cos^2(x)=2

Lösung

4 sin^{2} (\frac{x}{2}) + cos^{2} (x) = 2

Lösung

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Grad

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin^{2} (\frac{x}{2}) + cos^{2} (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

4 sin^{2} (\frac{x}{2}) + cos^{2} (x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (\frac{x}{2})

Verwende die folgenden Identitäten:

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

Verwende die Doppelwinkelidentität

cos (2 θ) = 1 - 2 sin^{2} (θ)

Tausche die Seiten

2 sin^{2} (θ) - 1 = - cos (2 θ)

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 sin^{2} (θ) = 1 - cos (2 θ)

Teile beide Seiten durch

2

sin^{2} (θ) = \frac{1 - cos ( 2 θ )}{2}

= - 2 + cos^{2} (x) + 4 \cdot \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2}

Vereinfache

- 2 + cos^{2} (x) + 4 \cdot \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} : cos^{2} (x) - 2 cos (x)

- 2 + cos^{2} (x) + 4 \cdot \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2}

4 \cdot \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} = 2 (- cos (x) + 1)

4 \cdot \frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2}

\frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2} = \frac{1 - cos ( x )}{2}

\frac{1 - cos ( 2 \cdot \frac{x}{2} )}{2}

Multipliziere

2 \cdot \frac{x}{2} : x

2 \cdot \frac{x}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{x \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= x

= \frac{1 - cos ( x )}{2}

= 4 \cdot \frac{- cos ( x ) + 1}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - cos ( x ) ) \cdot 4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2 (- cos (x) + 1)

= - 2 + cos^{2} (x) + 2 (- cos (x) + 1)

Multipliziere aus

2 (- cos (x) + 1) : - 2 cos (x) + 2

2 (- cos (x) + 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - cos (x), c = 1

= 2 (- cos (x)) + 2 \cdot 1

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 cos (x) + 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 cos (x) + 2

= - 2 + cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 2

Vereinfache

- 2 + cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 2 : cos^{2} (x) - 2 cos (x)

- 2 + cos^{2} (x) - 2 cos (x) + 2

Fasse gleiche Terme zusammen

= cos^{2} (x) - 2 cos (x) - 2 + 2

- 2 + 2 = 0

= cos^{2} (x) - 2 cos (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x)

cos^{2} (x) - 2 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

cos^{2} (x) - 2 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

u^{2} - 2 u = 0

u^{2} - 2 u = 0 : u = 2, u = 0

u^{2} - 2 u = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 2 u = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 2, c = 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 2

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 2^{2} - 0

2^{2} - 0 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a,

angenommen

a \geq 0

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 1} : 2

\frac{- ( - 2 ) + 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 2}{2 \cdot 1}

Addiere die Zahlen:

2 + 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 1} : 0

\frac{- ( - 2 ) - 2}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 2}{2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 2 = 0

= \frac{0}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{0}{2}

Wende Regel an

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 2, u = 0

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 2, cos (x) = 0

cos (x) = 2, cos (x) = 0

cos (x) = 2 :

Keine Lösung

cos (x) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = 0 : x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(x)-2cos(2x)=1

2 cos^{2} (x) - 2 cos (2 x) = 1

12cot^2(x)=4

12 cot^{2} (x) = 4

(1+sin(x))/(cos^2(x))=2

\frac{1 + sin ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 2

5sin^2(θ)+2sin(θ)=0

5 sin^{2} (θ) + 2 sin (θ) = 0

cos(θ)cos(3θ)-sin(θ)sin(3θ)=0

cos (θ) cos (3 θ) - sin (θ) sin (3 θ) = 0