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Beliebt Trigonometrie >

3cos^2(θ)-1=2cos(θ)

Lösung

3 cos^{2} (θ) - 1 = 2 cos (θ)

Lösung

θ = 2 πn, θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 109.47122 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos^{2} (θ) - 1 = 2 cos (θ)

Löse mit Substitution

3 cos^{2} (θ) - 1 = 2 cos (θ)

Angenommen:

cos (θ) = u

3 u^{2} - 1 = 2 u

3 u^{2} - 1 = 2 u : u = 1, u = - \frac{1}{3}

3 u^{2} - 1 = 2 u

Verschiebe

2 u

auf die linke Seite

3 u^{2} - 1 = 2 u

Subtrahiere

2 u

von beiden Seiten

3 u^{2} - 1 - 2 u = 2 u - 2 u

Vereinfache

3 u^{2} - 1 - 2 u = 0

3 u^{2} - 1 - 2 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

3 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

3 u^{2} - 2 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 3, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 1 )}{2 \cdot 3}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 3 ( - 1 )}{2 \cdot 3}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 1) = 4

(- 2)^{2} - 4 \cdot 3 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 3 \cdot 1 = 12

= 2^{2} + 12

2^{2} = 4

= 4 + 12

Addiere die Zahlen:

4 + 12 = 16

= 16

Faktorisiere die Zahl:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 4}{2 \cdot 3}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 4}{2 \cdot 3}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 4}{2 \cdot 3}

u = \frac{- ( - 2 ) + 4}{2 \cdot 3} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 4}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 4}{2 \cdot 3}

Addiere die Zahlen:

2 + 4 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{6}{6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 4}{2 \cdot 3} : - \frac{1}{3}

\frac{- ( - 2 ) - 4}{2 \cdot 3}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 4}{2 \cdot 3}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 4 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= \frac{- 2}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{6}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{1}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{3} : θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{1}{3}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{1}{3}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{1}{3}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{1}{3}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = 1.91063 \dots + 2 πn, θ = - 1.91063 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x/2)=sin(x)

cos (\frac{x}{2}) = sin (x)

4sin^2(x)-5sin(x)+1=0

4 sin^{2} (x) - 5 sin (x) + 1 = 0

tan(x)=-0.6293

tan (x) = - 0.6293

2cos((2x)/3)-sqrt(3)=0

2 cos (\frac{2 x}{3}) - 3 = 0

-sin(2x)-sin(x)=0

- sin (2 x) - sin (x) = 0