English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

cot(θ)+4csc(θ)=6

Lời Giải

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

Lời Giải

θ = 0.88277 \dots + 2 πn, θ = 2.58911 \dots + 2 πn

Độ

θ = 50.57910 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 148.34553 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Các bước giải pháp

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

Trừ

6

cho cả hai bên

cot (θ) + 4 csc (θ) - 6 = 0

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 = 0

Rút gọn

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6 : \frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + 4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} - 6

4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )} = \frac{4}{sin ( θ )}

4 \cdot \frac{1}{sin ( θ )}

Nhân phân số:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{sin ( θ )}

Nhân các số:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{4}{sin ( θ )} - 6

Kết hợp các phân số

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{4}{sin ( θ )} : \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )}

Áp dụng quy tắc

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )} - 6

Chuyển phần tử thành phân số:

6 = \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ ) + 4}{sin ( θ )} - \frac{6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )}

\frac{cos ( θ ) + 4 - 6 sin ( θ )}{sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (θ) + 4 - 6 sin (θ) = 0

Thêm

6 sin (θ)

vào cả hai bên

cos (θ) + 4 = 6 sin (θ)

Bình phương cả hai vế

(cos (θ) + 4)^{2} = (6 sin (θ))^{2}

Trừ

(6 sin (θ))^{2}

cho cả hai bên

(cos (θ) + 4)^{2} - 36 sin^{2} (θ) = 0

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

(4 + cos (θ))^{2} - 36 sin^{2} (θ)

Sử dụng hằng đẳng thức Pitago:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

Rút gọn

(4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ)) : 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

(4 + cos (θ))^{2} - 36 (1 - cos^{2} (θ))

(4 + cos (θ))^{2} : 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Áp dụng công thức bình phương hoàn hảo:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 4, b = cos (θ)

= 4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Rút gọn

4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ) : 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

4^{2} + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

4^{2} = 16

= 16 + 2 \cdot 4 cos (θ) + cos^{2} (θ)

Nhân các số:

2 \cdot 4 = 8

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 (1 - cos^{2} (θ))

Mở rộng

- 36 (1 - cos^{2} (θ)) : - 36 + 36 cos^{2} (θ)

- 36 (1 - cos^{2} (θ))

Áp dụng luật phân phối:

a (b - c) = ab - a c

a = - 36, b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 36 \cdot 1 - (- 36) cos^{2} (θ)

Áp dụng quy tắc trừ-cộng

- (- a) = a

= - 36 \cdot 1 + 36 cos^{2} (θ)

Nhân các số:

36 \cdot 1 = 36

= - 36 + 36 cos^{2} (θ)

= 16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

Rút gọn

16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ) : 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

16 + 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) - 36 + 36 cos^{2} (θ)

Nhóm các thuật ngữ

= 8 cos (θ) + cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) + 16 - 36

Thêm các phần tử tương tự:

cos^{2} (θ) + 36 cos^{2} (θ) = 37 cos^{2} (θ)

= 8 cos (θ) + 37 cos^{2} (θ) + 16 - 36

Cộng/Trừ các số:

16 - 36 = - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

= 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) - 20

- 20 + 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Giải quyết bằng cách thay thế

- 20 + 37 cos^{2} (θ) + 8 cos (θ) = 0

Cho:

cos (θ) = u

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0 : u = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, u = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

- 20 + 37 u^{2} + 8 u = 0

Viết ở dạng chuẩn

a x^{2} + b x + c = 0

37 u^{2} + 8 u - 20 = 0

Giải bằng căn thức bậc hai

37 u^{2} + 8 u - 20 = 0

Công thức phương trình bậc hai:

Với

a = 37, b = 8, c = - 20

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 20 )}{2 \cdot 37}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 \cdot 37 ( - 20 )}{2 \cdot 37}

8^{2} - 4 \cdot 37 (- 20) = 1221

8^{2} - 4 \cdot 37 (- 20)

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 20

Nhân các số:

4 \cdot 37 \cdot 20 = 2960

= 8^{2} + 2960

8^{2} = 64

= 64 + 2960

Thêm các số:

64 + 2960 = 3024

= 3024

Tìm thừa số nguyên tố của

3024 : 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

3024

3024

chia cho

23024 = 1512 \cdot 2

= 2 \cdot 1512

1512

chia cho

21512 = 756 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 756

756

chia cho

2756 = 378 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 378

378

chia cho

2378 = 189 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 189

189

chia cho

3189 = 63 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 63

63

chia cho

363 = 21 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 21

21

chia cho

321 = 7 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

là tất cả các số nguyên tố, do đó không thể tìm thừa số nữa

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

= 2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 7

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 3 \cdot 7

Áp dụng quy tắc căn thức:

n ab = n a n b

= 2^{4} 3^{2} 3 \cdot 7

Áp dụng quy tắc căn thức:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3^{2} 3 \cdot 7

Áp dụng quy tắc căn thức:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{2} \cdot 3 3 \cdot 7

Tinh chỉnh

= 1221

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 12 21}{2 \cdot 37}

Tách các lời giải

u_{1} = \frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37}, u_{2} = \frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37}

u = \frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37} : \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

\frac{- 8 + 12 21}{2 \cdot 37}

Nhân các số:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 8 + 12 21}{74}

Hệ số

- 8 + 1221 : 4 (- 2 + 321)

- 8 + 1221

Viết lại thành

= - 4 \cdot 2 + 4 \cdot 321

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

4

= 4 (- 2 + 321)

= \frac{4 ( - 2 + 3 21 )}{74}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

u = \frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37} : - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

\frac{- 8 - 12 21}{2 \cdot 37}

Nhân các số:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 8 - 12 21}{74}

Hệ số

- 8 - 1221 : - 4 (2 + 321)

- 8 - 1221

Viết lại thành

= - 4 \cdot 2 - 4 \cdot 321

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

4

= - 4 (2 + 321)

= - \frac{4 ( 2 + 3 21 )}{74}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Các nghiệm của phương trình bậc hai là:

u = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, u = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Thay thế lại

u = cos (θ)

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}, cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37} : θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

Áp dụng tính chất nghịch đảo lượng giác

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

Các lời giải chung cho

cos (θ) = \frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37} : θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Áp dụng tính chất nghịch đảo lượng giác

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

Các lời giải chung cho

cos (θ) = - \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Kết hợp tất cả các cách giải

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Xác minh các lời giải bằng cách thay chúng vào các phương trình ban đầu

Kiểm tra các lời giải bằng cách thay chúng vào

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

Loại bỏ những lời giải không đúng với phương trình.

Kiểm tra lời giải

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn :

Đúng

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

Thay

n = 1

arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

Thay

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

vào

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Tinh chỉnh

6 = 6

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Kiểm tra lời giải

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn :

Sai

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn

Thay

n = 1

2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

Thay

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

vào

θ = 2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1

cot (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (2 π - arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Tinh chỉnh

- 6 = 6

\Rightarrow Sai

Kiểm tra lời giải

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn :

Đúng

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Thay

n = 1

arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

Thay

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

vào

θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Tinh chỉnh

6 = 6

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Kiểm tra lời giải

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn :

Sai

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Thay

n = 1

- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

Thay

cot (θ) + 4 csc (θ) = 6

vào

θ = - arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1

cot (- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) + 4 csc (- arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 π 1) = 6

Tinh chỉnh

- 6 = 6

\Rightarrow Sai

θ = arccos (\frac{2 ( 3 21 - 2 )}{37}) + 2 πn, θ = arccos (- \frac{2 ( 2 + 3 21 )}{37}) + 2 πn

Hiển thị các lời giải ở dạng thập phân

θ = 0.88277 \dots + 2 πn, θ = 2.58911 \dots + 2 πn

Đồ Thị

Ví dụ phổ biến

sin(x)sqrt(2)=-sin(x)

sin (x) 2 = - sin (x)

sin^2(x)-9cos(x)-9=0

sin^{2} (x) - 9 cos (x) - 9 = 0

sin(a)= 8/17

sin (a) = \frac{8}{17}

cot(t)=1

cot (t) = 1

4sin(x)+3=5

4 sin (x) + 3 = 5