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Beliebt Trigonometrie >

solvefor x,sqrt(1+sin^3(xy^2))=y

Lösung

löse nach

x, 1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Lösung

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}

Radianten

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 π}{y ^{2}} n, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 π}{y ^{2}} n

Schritte zur Lösung

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

Quadriere beide Seiten:

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2} = y^{2}

Schreibe

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2}

um:

1 + sin^{3} (x y^{2})

(1 + sin^{3} (x y^{2}))^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + sin^{3} (x y^{2}))^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + sin^{3} (x y^{2}))^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 + sin^{3} (x y^{2})

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Löse

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} : sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y^{2}

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + sin^{3} (x y^{2}) - 1 = y^{2} - 1

Vereinfache

sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} - 1

sin^{3} (x y^{2}) = y^{2} - 1

Für

x^{n} = f (a)

, n ist ungerade, die Lösung ist

x = n f (a)

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

Überprüfe die Lösungen:

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 {y \geq 0}

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 + sin^{3} (x y^{2}) = y

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 : 1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y \Rightarrow y \geq 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Quadriere beide Seiten:

y^{2} = y^{2}

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2} = y^{2}

Schreibe

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2}

um:

y^{2}

(1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{2}

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (1 + (3 y^{2} - 1)^{3})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

Schreibe

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

um:

y^{2}

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

(3 y^{2} - 1)^{3} = y^{2} - 1

(3 y^{2} - 1)^{3}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{3}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 3}

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

\frac{1}{3} \cdot 3

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= 1

= y^{2} - 1

= 1 + y^{2} - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= y^{2} + 1 - 1

1 - 1 = 0

= y^{2}

= y^{2}

y^{2} = y^{2}

y^{2} = y^{2}

Beide Seiten sind gleich

Wahr f \overset{u}{¨} r alle y

Überprüfe die Lösungen:

y < 0

Falsch

, y = 0

Wahr

, y > 0

Wahr

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Füge das Domänenintervall mit dem Lösungsintervall zusammen:

Wahr f \overset{u}{¨} r alle y

Finde die Funktionsintervalle:

y < 0, y = 0, y > 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = y

Finde die geraden Wurzelargumente the even roots arguments zeroes:

Löse

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = 0 : y = 0

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} = 0

Faktorisiere

1 + (3 y^{2} - 1)^{3} : (3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1)

1 + (3 y^{2} - 1)^{3}

Schreibe

1

um:

1^{3}

= (3 y^{2} - 1)^{3} + 1^{3}

Wende Formel zur Summe von dritten Potenzen an:

x^{3} + y^{3} = (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})

(3 y^{2} - 1)^{3} + 1^{3} = (3 y^{2} - 1 + 1) ((3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1)

= (3 y^{2} - 1 + 1) ((3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1)

(3 y^{2} - 1)^{2} = (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}}

(3 y^{2} - 1)^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 2}

\frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}

\frac{1}{3} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{3}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{3}

= (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}}

= (3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1)

(3 y^{2} - 1 + 1) ((y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

3 y^{2} - 1 + 1 = 0 or (y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Löse

3 y^{2} - 1 + 1 = 0 : y = 0

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

3 y^{2} - 1 + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

3 y^{2} - 1 = - 1

3 y^{2} - 1 = - 1

Potenziere beide Seiten der Gleichung mit

3 : y^{2} - 1 = - 1

3 y^{2} - 1 = - 1

(3 y^{2} - 1)^{3} = (- 1)^{3}

Schreibe

(3 y^{2} - 1)^{3}

um:

y^{2} - 1

(3 y^{2} - 1)^{3}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

= ((y^{2} - 1)^{\frac{1}{3}})^{3}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (y^{2} - 1)^{\frac{1}{3} \cdot 3}

\frac{1}{3} \cdot 3 = 1

\frac{1}{3} \cdot 3

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= 1

= y^{2} - 1

Schreibe

(- 1)^{3}

um:

- 1

(- 1)^{3}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = - a^{n},

wenn

n

ungerade ist

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= - 1

y^{2} - 1 = - 1

y^{2} - 1 = - 1

Löse

y^{2} - 1 = - 1 : y = 0

y^{2} - 1 = - 1

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

y^{2} - 1 = - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

y^{2} - 1 + 1 = - 1 + 1

Vereinfache

y^{2} = 0

y^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

y = 0

y = 0

Überprüfe die Lösungen:

y = 0

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

3 y^{2} - 1 + 1 = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

y = 0 :

Wahr

3 0^{2} - 1 + 1 = 0

3 0^{2} - 1 + 1 = 0

3 0^{2} - 1 + 1

Wende Regel an

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 3 0 - 1 + 1

3 0 - 1 = - 1

3 0 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

0 - 1 = - 1

= 3 - 1

n - 1 = - 1,

wenn

n

ungerade ist

3 - 1 = - 1

= - 1

= - 1 + 1

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 1 = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Deshalb ist die Lösung

y = 0

Löse

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0 :

Keine Lösung für

y \in R

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Verwende die folgende Exponenteneigenschaft

: a^{\frac{n}{m}} = (m a)^{n}

(y^{2} - 1)^{\frac{2}{3}} = (3 y^{2} - 1)^{2}

(3 y^{2} - 1)^{2} - 3 y^{2} - 1 + 1 = 0

Schreibe die Gleichung um mit

3 y^{2} - 1 = u

u^{2} - u + 1 = 0

Löse

u^{2} - u + 1 = 0 :

Keine Lösung für

u \in R

u^{2} - u + 1 = 0

Diskriminante

u^{2} - u + 1 = 0 : - 3

u^{2} - u + 1 = 0

Für eine quadratische Gleichung in der Form

a x^{2} + b x + c = 0

ist die Diskriminante

b^{2} - 4 a c

Für

a = 1, b = - 1, c = 1 : (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Schreibe

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

um:

- 3

(- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 4 = - 3

= - 3

- 3

Diskriminante kann nicht negativ sein für

u \in R

Deshalb ist die Lösung

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r u \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r y \in R

y = 0

Überprüfe die Lösungen:

y = 0

Wahr

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = 0

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

y = 0 :

Wahr

1 + (3 0^{2} - 1)^{3} = 0

1 + (3 0^{2} - 1)^{3} = 0

1 + (3 0^{2} - 1)^{3}

Wende Regel an

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 1 + (3 0 - 1)^{3}

(3 0 - 1)^{3} = - 1

(3 0 - 1)^{3}

3 0 - 1 = - 1

3 0 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

0 - 1 = - 1

= 3 - 1

n - 1 = - 1,

wenn

n

ungerade ist

3 - 1 = - 1

= - 1

= (- 1)^{3}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = - a^{n},

wenn

n

ungerade ist

(- 1)^{3} = - 1^{3}

= - 1^{3}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= - 1

= 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 1 = 0

= 0

0 = 0

Wahr

Deshalb ist die Lösung

y = 0

y = 0

Die Intervalle sind um die Nullen herum definiert.

y < 0, y = 0, y > 0

Kombiniere die Intervalle mit dem Bereich

y < 0, y = 0, y > 0

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 + 3 y^{2} - 1^{3} = y

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Setze ein

y < 0 : 1 + 3 y^{2} - 1^{3} \neq = y \Rightarrow

falsch

Deshalb ist die Lösung

y \geq 0

Deshalb ist die Lösung

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1 {y \geq 0}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

Allgemeine Lösung für

sin (x y^{2}) = 3 y^{2} - 1

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn, x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn, x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Löse

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn : x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

y^{2}; y \neq = 0

x y^{2} = arcsin (3 y^{2} - 1) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

y^{2}; y \neq = 0

\frac{x y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Vereinfache

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Löse

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn : x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

y^{2}; y \neq = 0

x y^{2} = π + arcsin (- 3 y^{2} - 1) + 2 πn

Teile beide Seiten durch

y^{2}; y \neq = 0

\frac{x y ^{2}}{y ^{2}} = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

Vereinfache

x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}; y \neq = 0

x = \frac{arcsin ( 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}, x = \frac{π}{y ^{2}} + \frac{arcsin ( - 3 y ^{2} - 1 )}{y ^{2}} + \frac{2 πn}{y ^{2}}

Graph

Beliebte Beispiele

sin((2x)/3)-1=0

sin (\frac{2 x}{3}) - 1 = 0

4sin^2(x)+1=4

4 sin^{2} (x) + 1 = 4

-sin^2(x)=-3+3sin^2(x)

- sin^{2} (x) = - 3 + 3 sin^{2} (x)

cos(3x)=0.5

cos (3 x) = 0.5

5cos^2(x)+cos(x)=0

5 cos^{2} (x) + cos (x) = 0